Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от а до Ь и от b до
х, где b лежит вблизи х\. Во второй области можно положить 5U =
= 8U(xi) и U(x) = Е - (х - x\)F. Тогда
y/m8U(x i)
St = - + St0, (10)
y/2F3{x-Xl)
a
_ 1 r SU(x) dx \fm5U{xi)
0 - 2 V 2 У {E-Uf/2 y/F3(b-Xiy
Подставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая St2, получим (9) с 8t\ = Sto.
1.9] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью
свободы 79
1.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозмущенное
движение
xo(t) = asinujt, Е = ^гто2а2.
При этом \5U/U\ < ? = <С 1. Поправка
ш
St(x) = (л/а2-х2 + а - 2а),
3lo V у а2 - а;2 2
1
8t(xo(t)) = ^-^coswi-l-
- 2
coswt
и, согласно формуле (6) предыдущей задачи,
x(t) = a sin u>t - Щр (cos2 ut + 1 - 2 cos cot). С точностью до членов
первого порядка по е включительно
x(t) = asin^wt +
cos 2uit
(ср. с задачей 8.1 б).
б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем
x(t) = asinut + aef^ujtcosujt- ^ sinoat- ^ sin3u;tY е = ^т<с1. (1) \2
о о / 4и)
Этот результат имеет относительную точность ~ е2 в течение одного
периода, а через ?-1 периодов формула (1) становится полностью
неприменима. Учитывая периодический характер движения, можно
распространить результат (1) на больший промежуток времени. С точностью
до членов порядка ? включительно формула (1) преобразуется к явно
периодическому виду
x(t) = а^1 - sin uj(l + sin 3uj(l + Tjsjt ¦ (2)
He учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты порядка
е2и>, так что (2) сохраняет относительную точность ~ в течение е-1
периодов (ср. с задачей 8.1 а).
80
Ответы и решения
[1.10
1.10. Искомое изменение периода
_ Х2+6Х2
8Т = л/ 2 то
dx / dx
. J у/Е - U(x) - 5U(x) J y/E-U(x) J
СС1+5Ж1 Ж1
(1)
Разлагать подынтегральное выражение (1) no 5U(х) нельзя: условие
применимости теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по
параметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интеграл
расходится. Разложение подынтегрального выражения по SU(х) до линейного
члена включительно можно провести, если представить ST в виде
5Т = 2у/2т^-дЕ
Х2 + 5Х2
д
j у/Е - U(x) -SU(х) dx - J yjE - U{x) dx
(2)
х\+5х\
Отсюда
Х2
6T=-V2^-g=f 5U{x)dX = -f-(T(5U)), (3)
дЕ J v/е - U(x) dEy
Xl
где
{5U) = ± JsU[x(t)]dt (4)
о
- среднее по времени значение SU.
Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в период
(разумеется, если U'(xit2) ^ 0); по этому поводу см. задачу 1.3. Именно
поэтому формула (3) может давать хорошее приближение.
В некоторых случаях даже малая добавка 8U(х) может существенно изменить
характер движения частицы (см. например, задачу 1.116, в).
Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложения ST по SU:
Х2
Т=уш±
^ nl дЕ J у/Е - U(x)
XI
Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или даже
сходящимся рядом.
1.11. а) Поправка к периоду 2-k/uj, полученная по формуле (5) предыдущей
задачи, равна -3irf3E/2mu5 и мала при достаточно малых Е.
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
81
б) Графики потенциальной энергии U{x) и U{x) + SU(x) изображены на
рис. 74. Видно, что при Е > Um = = ти>6/6а2 добавка делает движение ин-
финитным. При значениях Е, близких к Um, период колебаний неограниченно
возрастает (как In (Um - Е) |; см. задачу 1.4); поэтому нельзя
рассчитывать, что в этом случае он определяется небольшим числом членов
ряда (5) задачи 1.10. Если же Е <С Um, то поправка к периоду ST = =
5тгЕ/18ujUm.
3-itAV Дтп
и
\ \ U+SU,
\ /и ит ; Е //
У'
Рис. 74
в) 5Т =
(Е < 0). 2а\Е\
1.12.
+ СО
формула применима, если \Е\ " \Um\ ~ V8AV
JL _ I4) dx - -- In --- v0 v)ax-av0 E-Uo'
j Г) j Г) 771
где v = л/ - |E - U(x)|, wq = О - (ср. с решением задачи 1.1 б).
§ 2. Движение частиц в полях
2.1. Для исследования движения частицы используем законы сохранения
энергии и момента импульса:
шг2
+ U (г) = Е,
ш[гг] = М.
Согласно (2) траектория является плоской кривой. Введя в ее плоскости
полярные координаты (рис. 75), получаем
•2 m.r2ih2 , ,
и (г) = Е, (3)
(1)
(2)
тог
тг2ф
М.
(4) О
Исключая из (3) ф с помощью (4), находим
А 2
Um(r) = ?-,
Рис. 75
шг
(5)
82
Ответы и решения
[2.1
где
С/Эфф(г) = U(r)
М2
2 тог2
Таким образом, радиальное движение можно рассматривать как одномерное
движение в поле НЭфф(г).
Для качественного исследования характера движения используем гра-
фики
^Эфф(0 - г з
м2
2тг2
(6)
при различных значениях М (рис. 76).
Рис. 76
Если 120:7m2 < М4, то С/Эфф имеет два экстремума (при 77,2 =
М2 7 ^М4 - 1207т2 \ ,
= 2та--------/' ^аксимальное значение (Лфф(г1) = итах
положительно при М4 > 1607т2 (рис. 76, а) и отрицательно при
1207т2 < МА < 1607т2 (рис. 76,6); в обоих этих случаях 113фф(г2) = =
^rnin ^ О*
Если же М4 < 12оут2, то функция U3$$(r) монотонна (рис. 76, б).
Рассмотрим подробнее случай а). Если Е > 1/тях, то частица, летящая из
бесконечности, падает в центр поля. При этом величина ф, согласно (4),
возрастает. Этих соображений достаточно для того, чтобы грубо изобразить
