Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
-в = 2тт1 ± х,
(2)
3.9] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц 131
где верхнему знаку соответствует I = 0, 1, ..., а нижнему I = 1,2,...
(рис. 109,6). Из (1) и (2) имеем
"2/, / I \ "2 | да2 /1 1 )
Р ^ 1 + 2 \2тт1±Х 2тт1 + 2тт±хУ
Сечение
ОО ОО
da = тг^ \dp2(x, I, +)| +K^2\dp2(x, I, -)|.
1=0 1=1
dp2(\, I, +) dp2(\, I, -)
Учитывая, что < 0, ;- > 0, находим
dx ах
da = nd
- ^P2{Xi U +) + ^P2{Xi ^ -)
1=0
1=1
1
2?г - X
та2(2тт2 - 2ттх + X2. 2х2(27Г - х)2 sin х
¦ do.
Сечение ^ обращается в бесконечность при тг. В данном случае это приводит
к тому, что сечение рассеяния в малый конечный телесный
132
Ответы и решения
[3.10
7Г
угол До = j 2ж8т* равно
7Г-Х0
л a2 do 2 2
= 2тт / Y="Xo = a
Появление особенности дифференциального сечения обусловлено тем, что угол
отклонения, равный 7Г, достигается при значениях прицельного параметра р(
7Г, I, ±), отличных от нуля. В телесный угол А о, пропорциональный
квадрату малой величины Ах = Хсь попадают частицы, летевшие до рассеяния
через площадки 2крАр, площади которых пропорциональны первой степени Ар
ос хо- Такую особенность рассеяния называют сиянием (см. [11], гл. 5,
§5).
Такая же особенность есть и в рассеянии на угол х = 0, но в данном случае
она маскируется бесконечным сечением из-за рассеяния частиц со сколь
угодно большими прицельными параметрами. Сияние при рассеянии вперед
могло бы проявиться, например, при ограничении диаметра налетающего на
центр пучка частиц.
3.10. а) Условие Е V приводит, как легко видеть, к малости угла
отклонения частицы при рассеянии. Изменение импульса
ОО
Ар = ~д~Р / u(\P + vt\)dt
2V \рк _ж2 -^-хе ,
где х = яр.
Угол отклонения
Ар_ VVlxe-x°
и ~ р ~ Е
Разрешить это уравнение относительно х в аналитической форме не уда-
2
ется. Однако, используя график функции хе~х (рис. 110), видим, что при 0
< От = л/2^ - уравнение (1) имеет два корня.
Используя соотношение
d0 = (1 - 2х2)е х dx
h/
3.10] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц 133
Рис. 110
Рис. 111
и учитывая (1), представим сечение
da = Tr(\dpf \ + \dp2\) = Щ(%1 dx\ - х2 dx2)
в виде
da
do
2
х2
м2в2 '2х2 - 1 1 - 2х\
При в <С вт оказывается ii < 1,12 > 1 и
do
da =
,2д2 '
2м2в
При вт - 9 <с вт можно разрешить (1), разложив хс в ряд вблизи максимума.
Получаем
XI, 2 =
1 т л/1 " в/вп
V2
da =
do
2к2в2тЛ/\-в/вп
График da/do изображен на рис. 111. Особенность при в = вт -
интегрируемая (ср. с задачей 3.8).
Связано ли появление особенности сечения при в = вт с приближенным
методом решения задачи?
2
б) da
do (х1+х\ x2+xl
, где
Xl 2
(2 ЕвУ
При в <С 9.
УС292 V 1 - 2х\ 2x2 - 1 / ' (1+Ж12)3 V 7гУ 7
nV
Зл/З Е
da
it V do 4м:2Ев3'
134 Ответы и решения [3.11
При 9т - в < вт
, \/3 do
аа
2V2x2e2m^i-e/em
3.11. а) При столкновении частица, имевшая скорость v, приобретает
скорость v' = V-2n(nv), где п - единичный вектор нормали к поверхности
эллипсоида. Подставляя
-а2 Ъ2 с2
получаем
j / 2xz 2yz 2z2
N2a2c2 ' N2b2c2 ' " N2c4
Введем полярные углы, определяющие направление v': v' = "(sin^cos^, sin 0
sin i^, cos0). Сравнивая с (1), находим
Сечение
д(х, у)
da = dxdy =
д(в, р)
dd dp,
где зависимость х, у от в, р определяется из (2) и уравнения эллипсоида.
Для вычисления якобиана оказывается удобным ввести промежуточную
переменную и такую, что
х = а2и cos р, у = b2u sin р.
Из (2) получаем
N2c2 ' N2c4 ' 2 ис2
1 Как известно из дифференциальной геометрии
nocgrad^ + ^ + JL-l),
N определяется условием n2 = 1.
3.12] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц 135
и из уравнения эллипсоида находим
иГ2 = а2 cos2 р + b2 sin2 <p + с2 tg2
Далее,
д(х, у) = d{x, y) d{u, p) = аЦ2 du2 d{9, ip) d(u, ip) d(9, ip) 2 d9
Окончательно
a2b2c2 do
da
4 cos4 | (a2 cos2 ip + b2 sin2 ip + c2 tg2 | j
С помощью какого предельного перехода можно получить из этого результата
сечение рассеяния на параболоиде?
a2b2c2 do
б) da =
в) da
cos3 в(а2 cos2 ip + Ъ2 sin2 <р + с2 tg2 в)2 '
______________cos0 а2Ъ2с2 do_______________
sin4 9(а2 cos2 ip + b2 sin2 ip + c2 ctg2 в)2
3.12. а) Изменение импульса при рассеянии
f dU(r(t))
Ар = - J gr dt. (1)
- OO
При рассеянии на малые углы в правую часть (1) можно подставить r(t) = =
р + vt, где р _L v;
ОО
ЛР = -§р S U{'P + wt)dt = ^dp3^V} (2)
- оо
Пусть ось z параллельна v, ось у перпендикулярна к а. Тогда
д _ТШ^Р_хРу_ ()
^Рх - V р3' ^РУ -V 3 '
'Замена в (2) дифференцирования по г дифференцированием по р (при условии
р _L Voo) приводит к тому, что полученная формула определяет только
компоненты Ар, перпендикулярные К Voo •
136
Ответы и решения
[3.13
Направление скорости после рассеяния характеризуем углами в сферической
системе координат
tsv = W,' " = <4)
Из (3) ясно, что рассеяние происходит только в интервал углов
7Г - - 37Г
2 ~2'
Из (3) и (4) находим
пах sin ^ cos ^ пах cos2 <р
Рх = ±^2Ё в ' рУ = Т^Ё-в~- (5)
Сечение
(Суммирование в (6) проводится по двум возможным, согласно (5), значениям
