Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
* Здесь опущен несущественный фазовый множитель < Yo j S | 'Го ) ¦
207
Для этого нужно учесть уравнение
и провести те же рассуждения, что и в § 10, учитывая равенство W+ = W.
Нашей целью является получение аналогичного уравнения для точной функции
Грина. Пусть оно имеет вид
г)0(1,2) = 6(1-2).
где X - неизвестный оператор. С учетом уравнения Дайсона получим
jd3G0 (1, 3) /И (3, 2) = б (1 - 2).
Сравнивая это уравнение для G0 с приведенным выше, находим Xf (2) = (Т",
+ Wqt) f (2) + j d3f (3) M (3, 2).
Tаким образом, окончательно
(- - т - W) G (1, 2) - j d3G (1, 3) М (3, 2) = 6(1- 2).
Возвращаясь к полученному выше уравнению для Ф", найдем
(-¦ч ~ т~ w)ф"(1) _ I й2Ф*п (2) м (2> 1} ^0
или, сопрягая это уравнение,
(j J*_ _ Т _ W) фп (j} _ j d2M+ (1, 2) Ф" (2) = 0.
Здесь мы обозначили через М+ (1, 2) величину М* (2, 1). Отыскивая решение
этого уравнения в виде Ф" (1) = Ф" (q^) X X ехр (-получим
АЕп - Т - W) Фп (qt) - J dq2 ЛИ (qlt q2, АЕп) Фп (q2) = 0. (22. 28)
Это уравнение, имеющее комплексные решения, дает спектр распадающейся
системы, а мнимая часть АЕп - ширину уровня. Сама величина ФД^) = (Ч^ф
(fli)!^) имеет смысл амплитуды вероятности обнаружить в возбужденном
состоянии частицу в точке qt и оставшуюся систему в основном состоянии.
Другими словами, Ф" (яг) представляет собой амплитуду перехода из
состояния в состояние ф+ (яг) Ф\
До сих пор мы рассматривали примеры, относящиеся к одночастичному
возбужденному состоянию системы. Аналогичным образом обстоит дело и для
парных возбуждений. И в этом случае
208
мнимая часть энергии имеет прямой физический смысл, описывая затухание
(распад) возбужденного состояния системы. Оставляя конкретное
рассмотрение относящихся сюда вопросов до § 28, отметим здесь лишь
следующее. Определить, имеем ли мы дело с квазистационарным или истинно
стационарным состоянием системы, проще всего, мысленно выключая
корреляционное взаимодействие между частицами. Если возникающее при этом
состояние отличается от устойчивого состояния нулевого приближения, то мы
заведомо имеем дело с квазистационарным состоянием. Именно так бывает,
например, при электромагнитном возбуждении системы с кулоновским
взаимодействием. После выключения корреляционного взаимодействия мы
получаем состояние, которое является суперпозицией состояний с одной,
двумя и т. д. парами. Вклад состояний с п парами определяется величиной
(е2Шс)п. Малость е2Шс позволяет считать, что практически имеется лишь
состояние с одной парой, которое не совпадает с устойчивым состоянием. В
последнем вклад состояний с п парами определяется не (е2/йс)п, а
соответствующей степенью эффективной константы взаимодействия между
частицами системы.
22. 9. Обратимся теперь к вычислению волновой функции возбужденного
состояния системы В принципе эту величину можно связать с волновой
функцией нулевого приближения оператором 5 (0, -со). Однако практическое
проведение соответствующих расчетов представляет собой весьма нелегкую
задачу. Кроме того, всей информации, заключенной в функции ?", чаще всего
не требуется. Наибольший интерес представляет матрица плотности
возбужденного состояния системы Rn (qlt q2), дающая распределение
одночастичных характеристик в этом состоянии и связанная обычным образом
[/?" (qt, q2) = -i lim Gn (1, 2)1
с одночастичной функцией Грина возбужденного состояния системы
G"(l, 2) = -1(?ге|Г[фг(1)ф+(2)]|?"). (22.29)
В этой связи возникает вопрос: выражается ли величина Gn (1, 2) через
рассмотренные выше матричные элементы Фп или ее определение требует
решения каких-то новых уравнений. Функция Ф", будучи матричным элементом,
связывающим функции ?" и ?, содержит в себе некоторую информацию,
относящуюся к ?". Вопрос состоит в том, достаточна ли эта информация для
описания одночастичных характеристик состояния ?".
Этот вопрос можно перевести и в другую плоскость. В § 21 мы видели, что
величины Фоп (1), Ф0" (1, 2) можно трактовать как волновые функции того
комплекса частиц и дырок, появление которого приводит к возбуждению
системы. При включении корреляционного взаимодействия величины Ф0" (1) и
Ф0п (1,2) переходят соответственно в Фп (1) и Ф" (1, 2). Если бы
оказалось, что (хотя бы в указанных выше предположениях о виде устойчивой
функции ?0ге) величины Ф" (1) и Ф" (1, 2) можно по-преж-
209
нему трактовать как волновые функции некоторого, хотя и более сложного,
комплекса, то решение вопроса не составляло бы труда. При этом имели бы
силу соотношения (21. 23), (21. 24), а также (21. 21), в которых
следовало бы заменить функции Ф0ге на Ф":
Rn (Яи Яг) - Я (<7i, Яг) = фп Ш Фге (<7i), . (22. 30)
Rn (?i> Яг) - Rfai, Яг) = Idq.t [Ф* (q2, q,) Фп (qt, q,) -
- Ф"(?в. Я1)фп(Яз> Яг)], (22.31)
J dqt | Фп (ft) |2 = 1 J dft dq2 | Фп (ft Яг) |2 - 1 • (22. 32)
Перейдем к рассмотрению поставленного вопроса. Учитывая соотношения /
?" = 5 (0, -оо) ?0", S ?0" = (?0n I 51 ?0ге) ?п",
перепишем, выражение (22. 29) в виде
п(1, ' ~ ¦ < Vm I S I У0п > ' ( '
