Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
(22. 2).
Такая ситуация типична для задачи с вырожденными уровнями энергии. Как
известно из курса квантовой механики, среди всех возможных суперпозиций
состояний одинаковой энергии имеются гыделенные, "устойчивые"
суперпозиции, характеризующиеся тем, что при Наложении малого
возмущающего потенциала они меняются тоже мало. При выключении
взаимодействия волновая функция стационарного состояния системы переходит
в устойчивую волновую функцию нулевого приближения.
Рассмотрим уравнения (22. 2), определяющие коэффициенты Ср, считая
гамильтониан Н' малым и ограничиваясь членами первого порядка. Используя
разложение 5-матрицы
оо
5=1 - t'A, J dt exp (- б 111) HB (t) + ¦ ¦ ¦ ,
будем иметь
°ap = ir I dt exp (- 6 |f |) (a | P).
- oo
Ho
(a | HB | p> = (a | exp (iH0t) H' exp (- iHat) J P) - (ct J //"
из-за одинакового значения энергий состояний аир. Вычисляя элементарный
интеграл по t, найдем
0ар=(а|Я'|Р) и уравнения (22. 2) примут вид
2 Ср [(Е0" - Еп) 6ap + <а IН' [ Р) ] = 0. (22. 4)
Р
/
Эти уравнения полностью совпадают с аналогичными уравнениями для
определения коэффициентов устойчивого состояния в низшем порядке обычной
теории возмущений [24].
Детерминант системы уравнений (22. 2), приравненный нулю, может иметь не
равные друг другу корни Еп - Е0п. Это означает, что под действием
корреляционного взаимодействия первоначально вырожденный уровень энергии
расщепляется. Отсюда следует, что произвольным образом выбранная
суперпозиция волновых функций приближения Хартри-Фока перейдет при
включении корреляционного взаимодействия в нестационарное состояние
системы. 198
В самом деле, указанную суперпозицию всегда можно перераз-ложить по
устойчивым волновым функциям, каждая из которых, эволюционируя во времени
в соответствии с соотношением (22. 3), приведет к стационарному состоянию
системы со своим значением энергии. Таким образом, результат эволюции
произвольно выбранного состояния системы представляет собой суперпозицию
стационарных состояний с различными значениями энергии. Такое состояние,
очевидно, не является стационарным, и его энергия представляет собой
неопределенную величину. Соответствующий разброс энергии определяется
энергиями входящих в суперпозицию состояний.
Говоря об устойчивости возбужденного состояния системы, коэффициенты
разложения волновой функции которого удовлетворяют уравнению (22. 2), мы
по существу можем употреблять этот термин в том же смысле, что и в § 9 в
применении к основному состоянию системы. Другими словами, если является
такого рода суперпозицией, то
Действительно, решение системы (22. 2) означает одновременно приведение
матрицы оар к диагональной форме. Отсюда
что эквивалентно соотношениям (22. 5).
В заключение можно сказать, что рассмотрение возбужденных состояний
системы в силу их вырожденного характера приводит к необходимости
проводить дополнительный динамический расчет, сводящийся к нахождению
устойчивых волновых функций нулевого приближения. Непосредственное
решение этой задачи довольно трудно. В дальнейшем будут изложены
некоторые обходные методы ее решения.
22. 3. При учете корреляционного взаимодействия между частицами
выражения для матричных элементов Ф0(1 примут вид *
(22. 5)
Ф"Ы = <'*г|ФЫ|Чг"(^+1)>,
ф" (<7i, ?*) = ( VI Ф+ Ы Ф (<7i) I (Щ )
(22. 6)
и т. д. Как и выше, здесь удобно ввести временные координаты,
рассматривая выражения более общего вида:
ФЛ1) = (Ф|Фг(1)|ФП), Ф"(1,2) = (Ф|Г[ф+(2)фг(1)]|11гп)-
(22. 7)
* Эти соотношения, как и последующие, должны быть записаны для каждой 1)3
функций 'рФ. Индекс i для простоты опускаем.
199
Обратный переход к функциям (22. 6) осуществляется следующим образом:
Ф"Ы = lim ф"(1).
Ф"(<71. <?2)= lim Фв(1,2).
(х-+0
В общем виде легко найти зависимость матричных элементов (22. 7) от
времени. Используя общее соотношение (2. 5), имеем
ф" (1) = ф" Ы ехр (- MEnf), (22.8)
гдеЛ?" - точная энергия возбуждения. Что же касается функции Ф" (1, 2),
то для нее в полной аналогии с выражением (21. 16') получаем
Ф" (1, 2) = Ф" (qfi; qt, т) exp (- t'A?"^), (22. 9)
где т = Ч - t2.
Можно также написать
lim Ф" (1, 2) = Ф" (qlt qа) exp (- ikEntx). (22. Ш)
Т->-0
Выражения (22. 7) аналогично результатам § 15 можно записать и в
представлении взаимодействия:
( xPa\T[^B(l)S]\'?on(N+ 1)>
Ф"(1)
Фя0,2)
<Y"|S|Y0>
_ <ЧГо1Г[^<2) Ч>в(1)Д]|Уоя(^)>
(22. 11)
<Y,|J|Yo)
Здесь мы использовали соотношение (22. 3) и условие устойчивости
основного состояния.
Аналогичным образом можно ввести и матричные элементы типа
ФЛ(1) = <Т|ф+(1))Тя(Л-1)>, (22. 12)
которые отвечают состоянию с одной недостающей частицей, или, что то же,
с одной лишней дыркой. v
22. 4. При учете корреляционного взаимодействия в возбужденных
состояниях системы появляется необходимость иметц какие-то сведения об
устойчивой волновой функции нулевого приближения Прямое решение
уравнений (22. 2) предста-
вляет собой нелегкую, хотя в принципе и выполнимую при наличии малых
параметров задачу.
