Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако имеется простой путь, позволяющий избежать решения этой задачи в
полном объеме и приводящий в ряде случаев к успеху: делаются некоторые
простейшие предположения о виде устойчивой функции Мг0"; последующая
проверка должна показать, насколько эти предположения верны; в случае
отрицательного исхода проверки следует выбрать более сложное выражение
для и т- Д-
200
Простейшее предположение состоит в том, что разложение ции ЧР0"
исчерпывается одним ее первым членом
Von(N) = SdqidqtOw(l,2)N№(2)*a(l)]V0.l(
При включении корреляционного взаимодействия мы не придем к стационарному
состоянию системы. Однако может оказаться, что мера соответствующей
нестационарное(tm) будет сравнительно невелика (точное определение этой меры
будет дано ниже). Таким образом, мы придем к приближенному описанию
возбужденного состояния системы, причем тем более точному, чем меньше
мера нестационарное(tm).
Рассмотрим с указанной точки зрения сначала одночастичное возбужденное
состояние системы. Подставляя выражение (22. 13) в соотношение (22. 11),
найдем
с ^ <Y0|r[i|3B(l)S]i|5+(2) |?0>
Ф" (I) = J (2)----- ' --Т^Ь | ?о ) • (22' И)
Это выражение можно свести к точной функции Грина, если воспользоваться
следующим удобным приемом, который будет применяться и дальше. Учтем,
что, как уже указывалось в § 21, волновые функции (22. 13) фактически не
зависят от временных аргументов. Полагая поэтому в полученном выражении
для Ф" (1) величину 12 равной -со, придем к выражению для усредняемого
оператора
Т [4>в (О (2) = Т [Ч"" (1) (2) 5] •
Отсюда имеем
Ф" (1) = i Г dqa lim G (1, 2) Ф0п (2). (22. 15)
J 12->-ОО
Полученное соотношение имеет силу лишь при использовании приближенного
выражения (22. 13); учет следующих членов разложения (21. 10) привел бы к
появлению в выражении (22. 15) функций Грина высшего порядка.
Если принять во внимание общее уравнение для функции Грина (19. 8),
подействовать на выражение (22. 14) слева оператором i Т - W и учесть,
что при всех конечных ^
Г dq2 lim 6(1 - 2) Фоге (2) = 0,
J - оо
найдем
(i т ) Ф" (1) - I d2M (1, 2) Фп (2) = 0. (22.16)
Функция G (1, 2) является, таким образом, функцией Грина уравнения для
величины (Y |фг(1)|?").
201
Если бы функция Ф" (1) представляла собой в действительности точное
выражение для указанного матричного элемента, то ее зависимость от
времени давалась бы соотношением (22.8). Разлагая массовый оператор М в
интеграл Фурье по времени
М 2) = [ "ЙГ ехр ге ^ - ^ М ^х' q*' 8) ' мы смогли бы записать выражение
(22. 16) в виде
(AEn-T-W)Q>M =
= Idq^M (qv q2, AEn) Ф" (q2). (22. 17)
Решение этого уравнения с соответствующими граничными условиями
приводит к задаче о собственных значениях для энергии
возбуждения АЕп. Особенно ясно это видно на примере пространственно-
однородной системы, для которой указанное уравнение принимает вид
АЕп - е-> - М (р, АЕп) = 0. (22.18)
Этому уравнению должны удовлетворять все допустимые значения АЕп,
относящиеся как к дискретному, так и к непрерывному спектру.
Необходимо обратить внимание на то, что искомые значения АЕп обращают в
бесконечность фурье-образ функции Грина
G(p, е):
G-1 (р, АЕп) = 0. (22.19)
Мы специально остановимся на этом факте в ,§ 23 и 24.
Так просто обстоит дело, в частности, при полном отсутствии
корреляционного взаимодействия; функция (22. 13) является точной волновой
функцией стационарного состояния системы. Полагая в уравнении (22. 18) М
= 0, получим
А Еоп = Е->,
что, очевидно, находится в полном соответствии с результатами
раздела 21. 2. Величина АЕ0п (как и АЕп) зависит от импульса -" *
"лишней" частицы р, т. е. мы нашли не один уровень возбужденного
состояния системы, а целую ветвь. Зависимость АЕп от р (и от других
характеристик состояния) носит название спектра возбуждений в узком
смысле этого слова.
Изложенная простая ситуация имеет место лишь в исключительных случаях,
когда уравнения (22. 17) или (22. 18) имеют чисто действительное решение.
Как правило, массовый оператор имеет отличную от нуля мнимую часть, и
величина АЕп оказывается комплексной. Это играет важную роль при
выяснении пределов применимости сделанного предположения о структуре
функции 202
Чг0п. Наличие отличной от нуля мнимой части энергии возбуждения
свидетельствует о нестационарном характере полученного в результате учета
корреляции состояния (стационарному состоянию отвечает чисто
осцилляторное поведение волновой функции системы). Относительная величина
мнимой части АЕп, точнее
1шА?" о
говоря, отношение -р -гуА и является мерой нестационарности
рассматриваемого состояния.
Прежде чем обосновать утверждение о том, что малость указанного отношения
гарантирует правильность найденных значений АЕп и Ф" (<7i), отметим
следующее обстоятельство. Решение уравнения (22. 17) по существу дает не
только значения АЕп иФ", но и ответ на вопрос о структуре устойчивой
волновой функции нулевого приближения. Если задаться произвольной
функцией Ф0" (<7Х) в уравнении (22. 15), то определяемая им функция Ф"
