Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя сюда выражения для ?0" с -со и ?0ге с tl -> -s- -j- оо, можно
привести это соотношение к функциям Грина основного состояния системы:
а (1 2) -1 d% dqA ф°*в (4) G (4, 3'2) Ф°"(3)
'¦]' dqз dft Ф0*" (4) О (4, 3) Ф0" (3) '
где t3 ->¦ -со, ti ->¦ +оо. Сразу же можно заметить, что знаменатель
фактически равен единице. В самом деле, используя выражение (22. 15),
перепишем его в виде
] dq., lim Ф0*"(4)Ф"(4).
/4 -> со
Но при со функция Ф" переходит в Ф0" (вследствие выключения
взаимодействия). Учитывая условие нормировки (21. 21), приходим к
искомому результату.
В числителе выражения для Gn (1, 2)l заменим функцию Грина ее
представлением через вершинную часть (20. 12). При этом можно избавиться
от функций Ф0", заменяя их функциями Фп. Для этого можно использовать
соотношение (22. 15), а также соотношение ф* (1) = - i]dq2 lim G(2,
1)Ф0*"(2),
t2 -> оо
которое можно вывести тем же способом, что и (22. 15). В результате
приходим к следующему основному соотношению: u"(l, 2)-G(l, 2) = -*Ф;
(2)Ф"(1)~
-~4ijdЗd4:d5d6Ф*n(3)G (l, 4) G (6, 2) Л (3, 4, 5, 6)Ф"(5). (22. 34)
Переходя к матрице плотности, получаем (t2 - tx -> +0)
Rn (?i, Яг) - R (Яi. Яг) = фп (Яг) Фп (Ял) +
+ 4 $ dЗd4d5d6Фn{3)G (I, 4) G (6, 2)Л(3, 4, 5, 6)Ф"( 5). (22,35 210
Второй член правой части выражения (22. 35) нарушает соотношение (22.
30). Это обстоятельство имеет простой смысл, поскольку, как уже
указывалось в § 20, указанный член описывает рассеяние комплексов друг на
друге, препятствующее возможности их независимого существования. В общем
случае это рассеяние играет существенную роль; однако в разреженных
(нерезонансных) и сжатых системах это рассеяние вносит сравнительно малый
вклад. Поэтому для таких систем понятие о волновой функции одночастичного
возбуждения может (с соответствующей точностью) оказаться оправданным.
22. 10. Сложнее обстоит дело с парными возбуждениями. Подставляя в
общую формулу (22. 33) выражения для Y0" с tx, С2 -со и для с 112 ->¦
+оо, находим
где tb, te -у со, tз, i4-y -оо. Вводя в знаменателе парную функцию Грина
и учитывая уравнение (22. 20) и условие нормировки (21.21), нетрудно
убедиться в том, что знаменатель равен единице.
Вводя трехчасгичную функцию Грина
Если подставить в выражение (22. 37) разложение 5-матрицы по нормальным
произведениям, то понадобится дополнительный член этого разложения,
содержащий М-произведение шести операторов. Соответствующая функция -
шестиполюсник - помимо несвязной части содержит также и связную часть,
описывающую взаимные корреляции трех частиц. Малость связной части
шестиполюсника является необходимым условием существования волновой
функции пары. Это условие во всяком случае выполнено в разреженной
системе, где следует учитывать лишь парные корреляции частиц. В сжатых
системах тройные корреляции столь же существенны, что и парные, и ими
можно пренебречь только тогда, когда вообще корреляции невелики.
Даже в пренебрежении тройными корреляциями соотношение (22. 38) не
сводится к выражению (22. 31). Последнее можно было бы получить лишь при
условии, что трехчастичная функция
_________________________________________________________________________
______________(22 36)
j dq3 dq4 dq5 dqs Ф0*" (5,6) ( VQ | T [tfB (5) % (4) (3) X |
'
X (6) S] | ?0) Ф0" (3, 4) I
G(l, 2, 3, 4, 5, 6)-
. з < Y0 i т К О) 1>в <2> (3) Ф+ (6) Ф+ (5) Ф+ Н) S\ | Y0)
' l> /¦ vrr_ 1 О I \TT_ \
(22. 37)
можно написать
Gn( 1. 2) = -i J dq3 dq4 dqb dqe Фо" (5, 6) x
X G(5, 1, 4, 3, 2, 6) Ф0" (3, 4). [(22. 38)
211
Грина в пренебрежении связным шестиполюсником представляется суммой
интегралов типа
$d7G(5, 1, 6, 7) G (7, 3, 2, 4).
При этом соотношение (22. 20) (и аналогичное соотношение для Ф^)
позволило бы заменить в выражении (22. 36) функции Ф0" на Ф" и получить
соотношение (22. 31). Однако все обстоит гораздо сложнее *.
Приведем результаты, относящиеся к сильносжатому электронному газу [94].
В этом случае точная волновая функция возбужденного состояния системы
может быть представлена в виде [951
(N) = J dq1 dq2 Фп (qu q2) N [ф+ {qx) ф (qt)] Y,
где Ф^, - некоторая функция, связанная с Ф"] соотношением **
(<7i, Яг) = Jdq3 [Фп (qL, qa) R (qa, Яг) - R (qlt q3) ф* (qs, Яг)\-
Матрица плотности и условие нормировки выражаются через обе функции Ф" и
Ф'п:
Rn(<7i. q*) - R(<fv ?s) = 1^8 Гф" (<7*, Яя) ф'п (qlt q,) -
Фп (q3, q±) Фге {Яз> Яг))'
J d4i dq-i фч (Яи Яг) фп (<7i. Яг) = 1 •
Таким образом, в данном случае понятие волновой функции комплекса
отсутствует. Можно показать, что применение соотношения (22. 31) для
описания однородного электронного газа приводит к грубым нарушениям общих
теорем типа теоремы вириала. Отсутствие понятия волновой функции пары
объясняется при этом сильной поляризацией среды, что делает невозможным
описание возбужденного состояния системы с помощью одной функции двух
координат. Если бы поляризация вакуума в квантовой электродинамике была
значительной, то по той же причине потеряло бы смысл понятие о волновой
