Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
будут отвечать тому же числу частиц N, что и основное состояние системы.
Вводя функцию
Ф" (<7i, <72, *) = Фп (qlt q2) ехр (-г AEnt), можем написать *
G (j 2) = 'V ( Ф" ^2' ^ Фп ^ 8ХР 1 ^ t[ > h
^ I Фп (<71, Я\) Фя (<72, <72) ехр [i АЕп (7, - t2)\ 7,<72-
Вводя фурье-образ G по 74 - 72, будем иметь
7, /_ _ V. Г ф" (^г. <?г)ф" (9i, <б)
G (<7х, <72, е) 2я1 е - АЕп 4- гб
П L
<?1)Фя('?2, b)
8 -j- АЬп - гб
* В приводимой формуле стоит знак (+) перед второй строчкой, поскольку
переставляются пары операторов.
221
Переходя от суммирования к интегрированию, найдем
Gift, ь, е) = f d? [4^f - ' <23' 22>
О
где
А (<7ь <72, Е) = 2 3 (Я - Д?") (<72, <7г) Фл (<7ь ф)- (23. 23)
/I
В случае пространственно-однородной системы Ф" (qlt qx) = - а -* exp
(i'pxi), где р - суммарный импульс возбужденного состояния, п' - прочие
индексы состояния. Тогда
Фл(<7г, ф) Фп (ф, q\) = I ап + I2exp [ip (xi - x2)\,
фп (ф, <71) Фп (<72, <72) = I ап, рехр [- ip (х, - х2) j.
* 2 Можно показать, что а ->= а -> и, следовательно, а"< Т =
/г'р п',-р 1 1
= 1а -"|2. Действительно, в рассматриваемом случае в мат-I п' , - р I
ричный элемент Ф" дает вклад лишь часть оператора if>+ (<7i)^f(<7i),
отвечающая импульсу р, именно j dxx exp (-ipxx) if+ (qx) if (qx) = з 0->.
Ввиду эрмитовою характера оператора if+if имеем =
p p
= 0 откуда и следует наше утверждение. Таким образом,
-р
С (р, г) = f -ЛтМтТб ' (23' 24>
О
где Л (р, ?) - действительная положительная величина. Непосредственно
видно, что А = j^ImG. Отсюда
Re G (р, е) = - Р [ . (23. 24')
о
23. 7. До сих пор переменные ей Е были действительными величинами. Для
выявления аналитических свойств функции Грина в полном объеме необходимо
рассмотреть и комплексные значения этих величин, т. е. аналитически
продолжить функцию Грина в комплексную плоскость энергии.
Преобразуем формулу (23. 11): делая во втором слагаемом замену Е -> -Е и
вводя обозначение
получим
aUE '-,!$&*.<*> ¦ (23'25)
00
Введем новую комплексную переменную
? = E - id sign (?).
При ? >• 0 ? = ? - id, при E < 0 ? = E + ib.
В комплексной плоскости ? контур интегрирования С, отвечающий
действительной оси для переменной Е, примет вид, изображенный на рис. 47.
Для пояснения заметим, что при Re? = Е )> О
(в правой полуплоскости) мы должны взять ? = Е - iS, т. е. сместить вниз
действительную ось интегрирования на отрезок д. Так же обстоит дело и в
левой полуплоскости.
1 Л" ' "
fr.U) \б
ЧГ
Рис. 47
• Помимо комплексной переменной интегрирования введем также и комплексные
значения величины е - р, которые обозначим через 2. Общая комплексная
плоскость величин ? и z изображена на рис. 47. Подставляя в соотношение
(23. 25) введенные
новые переменные и обозначая через F (?) величину * F [? + -f if) sign
(Re?) ], приходим к основной формуле:
G(p,z) = . (23.26)
С
Полученное соотношение имеет вид хорошо известного интеграла типа Коши
[98], определяющего две различных аналитических функции по обе стороны
контура. Обозначим через fl (z) и /и (z) функции соответственно в верхней
и нижней полуплоскостях (см. рис. 47). На самом контуре интегрирования
возможны особенности, в том числе точки ветвления.
Выясним связь функции комплексного переменного G (z) с функцией Грина G
(е). Поскольку луч е > ц лежит выше, а луч е •< р, - ниже контура
интегрирования, мы можем написать
(2з-27)
I /II \z)\z-*e-ц<0-
* На контуре интегрирования величина F (?) действительна и положительна.
Заметим, что Re? = Е и потому
Е = ? + (6 sign Е = ? + /6 sign (Re ?).
223
В самой точке е = р функция G (е) может (и должна) иметь особенность.
Различие функций Д и /и проявляется в том, что при стремлении их
аргументов к какой-либо точке контура получаются значения, комплексно
сопряженные друг с другом. Рассмотрим, например, две точки z1 = -a, z2 =
-a -f 2i6 (рис. 48). Имеем
Учитывая действительность функции F (Е), получаем G (z2) == = G* (zx) или
Нт fn (z2) = /г (zi)•
Z2'>Z1
Таким образом, если возьмем функцию Грина G (е) при е >> р и аналитически
продолжим ее в верхнюю полуплоскость, то придем к функции Д (z). Если,
далее, подойти к контуру С в области
е < р сверху, то получится функция G* (е). Обратно, если продолжить G (е)
при е << р в нижнюю полуплоскость и подойти к контуру С снизу при е > р,
то также получится G* (е).
Если же продолжить функцию Грина G (е) при е>рв нижнюю полуплоскость, то
получится функция, не имеющая ничего общего с /п (е) и, в частности, не
аналитическая в этой области. Она обязательно должна иметь особенности,
поскольку не существует всюду аналитической функции, отличной от нуля и
убывающей на бесконечности *. Аналогично аналитическое продолжение
функции G (е) при е < р в верхнюю полуплоскость также приводит к функции,
обладающей особенностями. И те, и другие особенности имеют прямой
физический смысл.
Для отыскания этих особенностей можно аналитически продолжать как функцию
G, так и ImG (т. е. при е > р - величину А, при е < р - величину В). Это
