Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
функции позитрония.
В заключение можно сказать, что вопрос о внутренней структуре
рассматриваемого комплекса - о распределении координат, импульсов и т. п.
внутри него - представляет собой задачу более сложную, чем задача о
нахождении спектра возбуждений. Первая задача требует рассмотрения
функций Грина более высокого порядка, чем вторая.
* В случае одночастичного возбуждения число аргументов функции Грина в
числителе Gn (1, 2) ровно вдвое превышало число аргументов функции Грина
в соотношении (22. 15). Поэтому Gn (1, 2) выражалось в виде произведения
двух функций Ф". Это чисто арифметическое обстоятельство и отличает
одночастичные и парные возбуждения.
** При выключении корреляционного взаимодействия функция Фп совпадает с
функцией Ф".
212
Тем более сложным является вопрос о возможности введения волновой функции
указанного комплекса: Имеющиеся в литературе утверждения о том, что
волновой функцией является Ф" * [80], вряд ли можно считать правильными
во всех случаях.
//§ 23. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
23. 1. В этом параграфе будет дан вывод важнейшего соотношения метода
функций Грина - их спектрального (или параметрического) представления
[88, 96] **.
Это представление в аппарате теории играет двоякую роль. С одной стороны,
оно позволяет решить до конца задачу о нахождении самих функций Грина.
Даже если решена задача о нахождении массового оператора М, функция Грина
не определена еще однозначно (см. § 19). Требуется дополнительная
информация о том, как понимать функцию G в точках, где ее знаменатель-
обращаётся в нуль. Спектральное представление дает соответствующую
информацию, или, как говорят, определение правила обхода полюсов функции
Грина.
С другой стороны, спектральное представление дает возможность
естественным образом ввести и интерпретировать важнейшее понятие
современной теории многих взаимодействующих частиц - понятие квазичастицы
или элементарного возбуждения,, а также найти его основные
характеристики: закон дисперсии и затухание.
При выводе спектрального представления фактически не делается никаких
предположений о характере системы и законах взаимодействия ее частиц.
Несмотря на такую общность подхода,, можно специализировать зависимость
функции Грина от одной из переменных - энергии. Эта специализация и
дается спектральным представлением.
23. 2. Переходим к выводу спектрального представления одночастичной
функции Грина G. Запишем ее в виде
[ (?|фг(1)Ф+(2)|^)
G(l, 2) = -I (23. 1>
I -(?|'ф+(2)фг(1)1^>
Используем правило умножения матриц
i
справедливое в случае полноты системы функций ?,; соответствующее условие
имеет вид
2?;(а)?г(Р) = бар,
i
* ФункцияФп по-прежнему определяет матричный элемент перехода системы в
возбужденное состояние при наличии корреляционного взаимодействия.
** В дальнейшем мы следуем в основном работе [88].
21"
где а и Р - значения переменных, от которых зависит Подход, основанный на
использовании промежуточной системы функций, был введен в теорию поля
Челленом и Леманом [97].
В рассматриваемом случае в качестве промежуточной системы удобно
использовать точные собственные функции полного гамильтониана
(Н-Еп)Уп-. 0.
Речь идет о собственных функциях всех состояний (основного и
возбужденных). Следует ввести в рассмотрение собственные функции,
отвечающие любому числу частиц в системе (а не обязательно N), лишь бы
эти функции были собственными функциями ¦оператора Н. Таким образом,
следует использовать все возможные собственные функции Н. Полнота этой
системы относится к предположениям, лежащим в основе всякого
квантовомеханического рассмотрения.
Рассмотрим сначала верхнюю строчку выражения (23. 1). Ее можно записать в
виде
<Y"|Ф+(2)1?).
П
В это разложение дают вклад только одночастичные промежу точные состояния
Y". В самом деле, учитывая связь фг (1) == = 5 (tu 0) ф (<7j) 5 (0, tt),
мы видим, что оператор фг (1) уменьшает число частиц на единицу,
поскольку 5-матрица содержит равное число операторов рождения и
уничтожения и не меняет числа частиц.
Не составляет труда выразить функцию Грина через функции <D" (1) (см. §
22). Именно, при t1 > t2
G(l, 2) = -i2>;(2)(Dn(l).
П
Учитывая зависимость входящих сюда величин от времени, имеем
G (1, 2) = - i 2 Ф" Ы Ф" Ш ехр [ - t А Еп (tt - /а)].
п
Аналогичным образом обстоит дело и при tx < t2. Однако в этом случае
промежуточные состояния имеют на единицу меньшее число частиц (или лишнюю
дырку). Вводя матричный элемент
'Фв (1) = (Ч^Ф^ (1)| (А/ - 1)), зависимость которого от вре-
мени определяется формулой
Фге (1) = Фп (<7i) ехр (I АЕп - ij,
где
bEa = En{N-\)-E(N), можем написать окончательно
^ (1; 2) = -i У I Ф" ^ Ф" ^ еХр 1 АЕп ~ ^1 tx > ^ (23 2)
V } - (9l) Фп (q2) ехр [i АЁп (tt - t2)] tY <t2.
214
Как и в § 22, величины АЕп и ДЕп можно выразить через энергию"
возбуждения системы того же (N) числа частиц, которое имеется в основном
состоянии. Обозначая через р точный химический потенциал системы, имеем
