Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Д Е" - А Еп + и,
, | (23. 3>
Д?" = Д?"-р. 1
Число частиц N предполагается при этом большим.
Переходя к фурье-образу по переменной ft - ft, найдем с учетом
соотношений приложения В
G (ft, ft, г) = ? ^ ^ ^ )• (23. 4>
^ | е - А?" - p-f- (й е + Д?" - р - гб
23. 3. Проанализируем полученное соотношение. Представим себе, что
суммирование по п проходит в два этапа: во-первых, по всем значениям
энергии возбуждения АЕп, во-вторых, по всем подсостояниям, отвечающим
данному значению ДЕп. Практически удобно работать таким образом, как
будто спектр энергии непрерывен. Если фактически в системе имеются
дискретные уровни, то это автоматически отражается появлением б-функции
от энергии в подынтегральном выражении.
Рассматривая поэтому бесконечно малый интервал энергии возбуждения
Е •< АЕп •< Е -f- dE, (23. 5)
мы можем ввести новые функции A (ft, ft, Е) и В (ft, q2, Е),
определяемые соотношениями
A (ft, q2, E)dE = 2 {q2) Ф" (ft), |
В (ft, q2, E)dE = \K (ft) Фп (q2), (23' 6)'
где суммирование в правых частях ведется по состояниям, удовлетворяющим
условию (23. 5). Функции Л и В определяют, таким образом, плотность
уровней системы. Их можно записать, также в виде
A (ft, ft, Е) = 2 6 (Е - АЕп + Е) Фя (<72) (ft),
П
Е (ft, <72, Е) = 2 6 (Е ~ АЕп - Ц) (<7х) Ф" (ft)- /23. 6>
Теперь можно перейти от суммирования по л к интегрированию по Е,
используя общее соотношение, вытекающее из соотношений (23. 5) и (23. 6):
2 Ф" (ft) Ф"(ft) X [АЕ'п) =ldE A (ft, q2, Е) X (В).
П
215-
Здесь X - произвольная функция. Аналогичное соотношение пишется и для
функции В. Таким образом, соотношение (23. 4) .можно переписать в виде *
а (," "" ") - f dE [*_!%¦ ¦ (23.7)
о
Полученное соотношение и носит название спектрального представления
функции Грина.
Отметим полезное соотношение
j 'dE [A (qv q2, Е) + В (qlt q2, Е)] = б (qx ~ q2). (23. 8)
О
Его левую часть можно представить в виде
2 [ф" Ш ф" (<&) + ф; Ш ф" Ш] =
п
= 2[(?Ц>м|?"> <?"]ф+ы|?> +
п
Д-('Г|ф+(д2)|?,г>(Ч^|ф(д1)|?)].
Входящую сюда сумму можно вычислить:
<?|{ФЫ, Ф+Ы}|?) = б(д1-^).
•Соотношение (23. 8) выражает условие полноты системы ?ге в его чистом
виде.
Рассмотрим вопрос об асимптотике функции Грина при больших значениях е.
Умножая спектральную формулу (23. 7) на е и полагая есо, найдем
eG (qlt <72, е) ^ 6 {q1 - q2). (23. 9)
Здесь мы использовали соотношение (23. 8). К тому же пределу стремится и
свободная функция Грина G0 (qx, q2, е), что легко видеть из ее выражений
(см. § 10). Это обстоятельство имеет вполне ясный физический смысл:
частица большой энергии лишь в' малой степени реагирует на силы,
действующие со стороны других частиц.
Весовые функции А я В нетрудно связать с матрицей плотности основного
состояния системы. На основе тех же соображений, которые привели нас к
формуле (23. 8), находим
R(q1,q2) = JdEB(ql,q2,E). (23.10)
0
оо
Интеграл j dE A (qx, q2, Е) [дает соответствующую матрицу
о
плотности, описывающую распределение дырок.
* Величина Е = АЕп всегда положительна, поскольку энергия основного
состояния отвечает наинизшему уровню спектра.
(216
23. 4. В пространственно-однородной системе приведенные соотношения
несколько упрощаются. В этом случае в число индексов состояния п в
соотношениях (23. 6) входит импульс р возбужденного состояния системы (в
основном состоянии импульс
считается равным нулю), причем Ф" (qх) = а exp (ipxd, где
П р
а -*¦ - некоторый зависящий от р коэффициент. Аналогично
п' р
(яд ~ а ¦* ехР (-ipxi). Подставляя эти выражения в соотно-
п' р
шения (23. 6) и (23. 7) и вычисляя фурье-образ по разности хх - х2"
найдем
G (р, е) = J dE
о
->
А Ср. Е) + в Ср, Е)_
, (23. 11>
е - ? - р -j- t'6 е + ? - р - где коэффициент А (р, Е) пропорционален 2 \
а э-12, В (р, Е)
пропорционален 2|а -+I2; суммирование производится в интер-п' п' Р
вале (23. 5) при фиксированном р. Отсюда следует положительность величин
А и В:
А > О, В > 0.
Выражение для свободной функции Грина (см. § 10)
G (р, е) = [е - е-> + ib sign (е->- - ef)] 1 (23. 12)
р р
получается из общей спектральной формулы (23. 11) при выборе-
А(р, Е) = 6 (Е + р - е+),
р [ (23. 13),
В(р, Е) = б (В - р + е->).
Здесь мы положили р = гР
* Это равенство не ограничено случаем идеального газа (см. § 4). Вернемся
к неоднородной системе и учтем, что в приближении Хартри - Фока Ф" (q) -
= Xv (//), АЕп = ev, Фп (q) = %v(q), А?" = - ev. Поэтому, согласно
соотно-. шению (23.6'):,
A(qi, <7г, ?) = 2 й (? - ev + р) у* (q2) 5?v (^l),
В (<7i, Я2, ?)=2 S(?+ev-p)x;(y1)xv(?2)-
V
Подставляя эти выражения в соотношение (23. 7), находим
Go(?l, я2, e)=25Cv(?2)xv(?l) [е - 8V + f-б Sign (бу-р)]^1 .
v
Сравнивая полученное соотношение с выражением (10. 7), убеждаемся в вы
пол-нении равенства химического потенциала и энергии Ферми в приближении
Хартри - Фока.
217-
Сравнивая соотношения (23. 11) и (23. 12), можно сказать, что
спектральное представление точной функции Грина позволяет
интерпретировать ее как функцию совместного распространения свободных
