Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
прежде всего его матрицу плотности, которая определяется соотношением
К п {Яг, Яг) = < % " ! Ф+ ы Фв ы | ?",). (21. 22)
Подставляя сюда разложения (21.9), (21. 10), найдем для одночастичного
возбужденного состояния системы
Ron (Яи Яг) = j dqadqt0on (q3) Ф0*л Ы X
X <Т0 | фв (<?4) Ч> + (Яг) 4>в (<7х) Ф + (<7з) I Т0).
Выполняя усреднение по формулам приложения А и используя соотношения (21.
И) и (21. 17), получим
Ron (<7и Яг) - Ro (?i> Яг) Фол (<?г) Фол (<7i). (21. 23)
Это соотношение выражает матрицу плотности возбужденного состояния как
сумму матриц плотности основного состояния и комплекса, волновой функцией
которого является Ф0п.
Для парного возбужденного состояния системы в результате громоздких, но
несложных выкладок получаем
Ron (Я" Яг) = Ro (<?i. Яг) +
J dq.6 [Фол ( q%i *7з) Фол (*7i> q$) Фол (<7з> ^i) Фол (?з> Яг)\ ¦
(21.24)
Здесь первый член в квадратной скобке - матрица плотности частицы, второй
- матрица плотности дырки; знак (-) отражает отсутствие частицы в данном
состоянии.
Важной характеристикой возбужденного состояния системы N частиц является
также следующий матричный элемент:
М0" = (Т0|Д|?0"),
195
где А - некоторый оператор, описывающий внешний возбудитель, способный
привести к возбуждению системы. Величина М0п позволяет вычислить
вероятность возбуждения системы. Чаще всего оператор А носит
одночастичный характер. При этом
MQn = j dq, (?0 [ V Ш Aqi ф (q,) | ?0"> =
= Jd<jr1lim A4tO0n(qltqt). (21.25)
<7 г-xjl
Рассматриваемая величина непосредственно связана, таким образом, с
весовой функцией Ф0".
§ 22. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ (УЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ)
22. 1. До сих пор возбужденные состояния системы рассматривались в
приближении Хартри-Фока. Примем теперь во внимание корреляционное
взаимодействие между частицами и свяжем точную волновую функцию
возбужденного состояния ?" с введенной выше величиной ?0". Запишем эту
величину в сокращенной форме:
w _ V с чФа>
Т0П - jL4 п,
а
где ?<"> - волновые функции возбужденных состояний с одной и той же
энергией возбуждения и с фиксированными числами заполнения.
Повторим рассуждения § 9, касающиеся связи ? и ?0, учиты,-вая вырожденный
характер рассматриваемого состояния системы. Это обстоятельство делает
непригодным соотношение (9. 18), которое должно быть теперь заменено
общим соотношением *
= 2Ce<a|S|P>?$?. (22.1)
a, р
Суммирование здесь, как и в предыдущей формуле, ведется по состояниям
одной и той же энергии.
Уравнение (9. 23), которому удовлетворяет волновая функ-цияв
'представлении взаимодействия ?Brt(-оо ), по-прежнему остается в силе,
поскольку при его выводе отсутствие вырождения никак не использовалось.
Остается выяснить, при каких условиях функция ?0" удовлетворяет тому же
уравнению.
* Здесь введено обозначение
( а | 5 | р > = < ?0"> | S | ) .
Заметим, что
= 2 < a I 5-1 I P > Von-
p
196
Учитывая выражение (21. 8) и уравнение HoWot! = ЕопРоУ, убеждаемся в том,
что
Далее
S-'WSV оп = EonV0n.
_ V г п ЧW 2 дХ °п <* а0 0п '
и?
где
i 6 , *^afj 2 ^а
AS
дХ
Р).
Таким образом, подстановка Ч1^ в уравнение (9. 23) дает систему уравнений
2Ср[(До"-Д")бар + 0ар] =0. (22.2)
Р
Решив эту систему, можно определить, во-первых, корреляционный вклад в
энергию возбуждения AEn = Еп- Е и, во-вторых, те значения
суперпозиционных коэффициентов Са, для которых функция Ton = 2^0"
удовлетворяет тому же уравнению,
а
что и Д'зп (-со). Используя доводы, приведенные в разделе 9. 7, можно
заключить, что состояния Д'зп (-со) и Чг0" имеют одинаковую энергию.
Однако из-за вырожденного характера рассматриваемого случая еще нельзя
сделать вывод о совпадении величин Д'вД-оо) и Поэтому дальнейшие
рассуждения
будут отличаться от рассуждений раздела 9. 7.
Решение уравнений (22. 2) не единственно: имеется г (по числу
подсостояний) наборов чисел Са} (г = 1 -ч-r), для которых функция
\тг(0 V* /•(*)
"0л =
а
удовлетворяет тому же уравнению, что и Ч^ (-оо). Можно ввести г функций
Ч*-^ (-оо), каждая из которых равна Ч*-^ ; это утверждение не
противоречит вырожденности рассматриваемого уровня й сводится к выбору
определенного базиса, по которому может быть разложено произвольное
состояние Ч^ (-оо). Теперь можно написать
Ч^ = 5 (Q, -со) 4$ . (22. 3)
Таким образом, вырожденный в отсутствие корреляционного взаимодействия
уровень при включении взаимодействия описывается совокупностью г точных
волновых функций. Среди них могут быть функции, отвечающие одинаковому
значению энергии, что свидетельствует о неполном снятии вырождения
корреляционным взаимодействием.
197
22. 2. Из полученных результатов следует, что каждая из точных волновых
функций возбужденного состояния системы связана 5-матрицей с вполне
определенной, а отнюдь не произвольной суперпозицией функций . Иными
словами, при выключении взаимодействия функция переходит в волновую
функ-
цию нулевого приближения, имеющую вполне определенные значения
коэффициентов разложения Са, нахождение которых требует решения уравнений
