Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 72

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 127 >> Следующая

Указанные особенности функций Ф0" приводят к важным соотношениям.
Учитывая разложение матрицы плотности
К (яи Яг) = 2 "X (Яг) Xv (<7i).
находим
192
.[ dq2R0 (qx, q2) Фо" (Яг)
(21.11)
Подобные соотношения можно написать и для функции Фоп (ди <7г):
j dq,R0 (qlt q2) Ф0" (q2, qy) = 0,
J dq*R0 (<7i, g%) фо" (<7*. <7i) = фо" (<7i, <7i)-С помощью полученных
соотношений и разложений (21.9), (21. 10) нетрудно убедиться в том, что
весовые функции Ф0" могут быть представлены в виде матричных элементов
следующего вида:
фо" (<7i) = ('Ч'о I Ф (9i) I Von (N + 1)), фо" (<71, <7а) = ( 1 ф+ Ы ф
(ft) | ?0" (N)) •
21. 6. Полезно ввести зависящие от времени весовые функции
фоЛ1) = (ЧГо1^в(1)|ЧГоЛ^+1))> j
Ф0" (1, 2) = < Ф0 ! Т [ф+ (2) фв (1)] I Ф0" (N)) } (21- 14)
и т. д. Они переходят в функции (21. 13) при А -" 0 и tx, t2 О
соответственно. Фактически символ Г-произведения в последнем равенстве мы
пишем лишь для удобства последующих выкладок. Разность между Г (ф+ф) и
ф+ф сводится к с-числу и с учетом ортогональности состояний Фо и Фоп
вообще никак не проявляется.
Учитывая уравнения движения для оператора в представлении взаимодействия,
легко получить следующие уравнения:
(,^_7-V)<DeiI(l) = 0,
/а \ <21Л5>
(i-§r1-T-W) фоп(1,2) = 0
и сопряженное уравнение для производной по t2.
Не составляет труда найти явную зависимость приведенных величин от
времени. Используя соотношение (2. 8), получим
,фо" (1) = ф0" (<7i) exp (- (21.16)
Аналогично можно показать, что
фо"(1, 2) = Ф0"(^1, 0; q2, т)ехр( -t'AЕоп^). (21. 16')
Здесь т = t2 -- Д. Таким образом, рассматриваемые матричные элементы в
отличие от средних значений зависят не только от разности времен, но и от
абсолютных их значений.
Для зависящих от времени функций Ф0" можно также написать ряд
соотношений, подобных (21. 11) и (21. 12). Примем во внимание разложение
свободной функции Грина (10. 5)
(1, 2) = - i У] х v (ft) tv (ft) exp [- iev {tx - /,)] {1 Z ^ < /"
193
(21.13)
(21. 12)
и зависимость от времени (21. 16), (21. 16'). Тогда с учетом разложений
функций Ф0" (<7х) и т. д. имеем
I dq%G0 (1,2) Ф0" (2) = - /0 (?х - t2) Ф0" (1). (21. 17)
Аналогично можно показать, что
j dq2G0 (1, 2) Ф0" (2, 3) = 0 t, < t2,
J dq2<&0n (3, 2) G0(2, 1) = 0 tA < t2, (21.18)
J dqx dq2 G0 (1, 2) Ф0" (2, 1) = 0.
Выразим далее волновую функцию возбужденного состояния системы через
зависящие от времени функции Ф0п (1) и т. п.
Уоп (.N) = j dqidq2Ф0" (1, 2) N [ф+ (1) фв (2)] ?"+••• (21. 19) ^on(^+l)
= J^ond)^(l)4fo+ ••• (21-20)
Все сводится к замене Ф0" (171) на Ф0ге (1) и т. п., а также операторов в
представлении Шредингера операторами в представлении взаимодействия.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, подставим в
соотношение (21.20) выражение (21.14) и разложения операторов поля. Это
даст
Чоп(К+ 1) = 1 <*<7x2 (^оIav[?0ft)x
[I, V
х at)Cv (<7х) Хв (<7i) exp [- i (ец - ev) ?0.
Используя ортогональность функций %v, нетрудно убедиться в том, что время
4 из этого выражения полностью выпадает, т. е. мы возвращаемся к
выражению (21. 10). Аналогично доказывается и соотношение (21. 19).
21. 7. Выясним физический смысл величин Ф0". Выше уже отмечалось, что
эти величины определяют вклад, который вносит в волновую функцию
возбужденного состояния заданная конфигурация частиц и дырок. Имеется и
более непосредственная физическая интерпретация этих величин. Как видно
из их разложе--ний по системе xv> функция Ф0" (qi) представляет собой
просто волновую функцию "лишней" частицы, присутствие которой
обусловливает отличие рассматриваемого состояния системы V*n{N + 1) от
основного состояния.
Аналогично функцию Ф0" (qu q2) можно трактовать как волновую функцию
пары, возникшей "на фоне" основного состояния. При этом Xv (*71)
представляет собой волновую функцию частицы, а Xv (^2) - волновую функцию
дырки. По этому поводу нужно заметить, что дырка должна описываться
именно сопряженной волновой функцией. Это следует из сопоставления частей
операторов поля, отвечающих рождению (или уничтожению) частиц и дырок
[см. выражение (8.4)].
194
Подобным же образом интерпретируются и более сложные функции Ф0". В целом
можно сказать, что Ф0" является волновой функцией того комплекса частиц и
дырок, присутствию которого обязано отличие функции и 4V
Несколько слов о нормировке волновых функций. Учитывая взаимную
ортогональность слагаемых разложений (21. 9), (21. 10) (она следует из
того, что соответствующее скалярное произведение содержит среднее
значение от неравного числа операторов рождения и уничтожения и потому
обращается в нуль), нетрудно видеть, что условие (Ч^^ол) =- 1 дает
1^1|Фо"Ы|2+ )
I dqydq2 \ Ф0" (qlt q2)\2-\- 1. J
Здесь мы выписали лишь первые члены соответствующих разложений. В
дальнейшем будут приведены результаты, относящиеся к тому же ограничению;
обобщение на случай учета последующих членов разложений (21. 9), (21. 10)
производится очевидным образом.
Рассмотрим некоторые физические характеристики возбужденного состояния и
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed