Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1) будет произвольно зависеть от времени. В частности, эта функция не
совпадает с решениями уравнения (22. 17), описывающего сравнительно узкий
класс "квазистационарных" состояний системы, волновая функция которых
экспоненциально зависит от времени. Каждому из этих состояний отвечает
вполне определенная функция Ф0" (<71), которая может быть получена из
решения уравнения (22. 17) путем выключения взаимодействия. Полученная
таким образом функция Ф0" (у,) после подстановки в выр жжение (22. 13)
дает "наиболее устойчивую" волновую функцию из класса функций, содержащих
одну лишнюю частицу сверх основного состояния.
Вернемся теперь к сформулированному выше утверждению. Если бы мнимая
часть АЕп точно равнялась нулю, то суперпозиция устойчивых волновых
функций, составляющая функцию Ф0га (<7i)> состояла бы или из одного
состояния, или из состояний, остающихся вырожденными и при включении
корреляционного взаимодействия. В последнем случае уравнения (22. 2)
имеют один кратный корень, а матрица аар пропорциональна единичной. И в
том и другом случае выбранная функция Ч1^ по существу является
устойчивой. Поэтому малость ImA?" является гарантией близости выбранной
функции к устойчивой функции нулевого приближения.
22. 5. Аналогичным образом может быть рассмотрена и величина Ф" (1, 2),
полученная в предположении, что волновая функция нулевого приближения
дается соотношением (22. 13). Подстановка в соотношение (22. 11)
выражения (22. 13), в котором положено t\, 12 -> -со, дает
фл(1,2) = [dq3dqi lim Ф0"(3, 4) х J Iа, <4+-<*>
<?" | Т [ф+ (2) г|5в (1) S] N [ф+ (3) (4)] | ?">
Х (YolSITo)
203
Учитывая определение свертки (§ 9), имеем
N [ф+ (3) "фз (4)] = Т [ф+ (3) фв (4)] + iG0 (4, 3),
откуда
Ф" (1, 2) = Г dq3dq4 lim Фоге (3, 4) X J ^ 3" *- 00
X [G0 (4, 3)G(1, 2)-G(l, 4, 2,3)].
Используя соотношения (21.18), имеем окончательно
Ф"(1,2) = - Wq3dqi lim G (1, 4, 2, 3) Ф0"(3, 4). (22.20) J t 3. ti-* -
СО
Равенства (22. 15) и (22. 20) очень наглядны, они определяют эволюцию
величинФге (1),Ф" (1, 2) от бесконечного прошлого, где корреляция между
частицами отсутствовала, к интересующему нас моменту. Функции О при этом
проявляют в полной мере свойства, присущие функциям Грина.
Для функции Ф" (1, 2), как и для Ф" (1), можно составить некоторое
интегральное уравнение. Подставляя соотношение (20. 12) в равенство (22.
20), находим
Ф"(1,2) = - Г dq3dqi lim [о (1,4, 2,3) +
t з , t- oo
+ 4 jd5d6d7 d8G (1, 5) G (4, 6) A (5, 6, 7, 8) X
XG(7,2)G(8,3)](r)0"(3,4). (22.21)
Для упрощения этого уравнения заметим, что комбинацию §dq3dq4G (4, 3) Ф0"
(3, 4) можно положить равной нулю в пределе t3,. t4 -у -со. При этом G
(4, 3) -> G0 (4, 3), и соотношение (21. 18) дает нулевой результат.
Введем далее функцию
Ф"(1,2) = [dq3dq4 lim G (1, 3) G (4, 2)Фоге(3, 4), (22. 22-)
J tt- oo
которая описывает корреляции частицы и дырки с системой, но не друг с
другом. Тогда уравнение (22. 21) принимает вид
ФД1,2) = Ф"(1,2) +
+ 4 j d3d4d5d6G (1, 3) G (5, 2) А (3, 4, 5, 6) Ф" (6, 4). (22. 2Г)
Это уравнение можно свести к интегральному уравнению для функции Ф",
которое может служить для нахождения спектра. Для этого следовало бы
произвести выделение компактной вершинной части, подобно тому, как это
было сделано в применении к парной функции Грина в § 20. Мы проведем
конкретное рассмотрение этих вопросов в § 25; здесь же заметим, что
соответствующее уравнение для определения АЕп также в общем случае имеет
комплексные корни. '
204
22. 6. В двух предыдущих разделах мы рассмотрели задачу об определении
спектра возбужденных состояний системы в предположении о том, что
устойчивые волновые функции нулевого приближения описываются первыми
членами разложений (21. 9), (21. 10). При этом выяснилось, что величина
энергии возбуждения АЕп и матричный элемент Ф" определяются уравнениями,
содержащими соответственно массовый оператор и вершинную часть.
Появляющаяся при решении этих уравнений мнимая часть энергии - затухание
- имеет при указанной постановке задачи чисто формальный смысл и играет
роль меры точности принятого предположения о виде устойчивой волновой
функции. Если величина затухания получается сравнимой с АЕп, то это
свидетельствует о грубости предположения. Выбирая тогда в качестве
устойчивой функции скажем, первые два члена разложений (21.9),
(21, 10), мы приходим к более сложным уравнениям для функций Ф",
содержащим дополнительно вершинную часть (для одночастичного) и
шестиполюсник (для парного возбуждения). Решение этих уравнений приведет
к меньшему затуханию. При необходимости эту процедуру можно продолжить.
Рассмотренная постановка задачи, цель которой найти стационарные
возбужденные состояния системы сами по себе, является далеко не
единственно возможной. Важный класс задач теории многих частиц требует
ответа на вопрос о результатах перехода системы в возбужденное состояние
за счет определенного механизма возбуждения. Другими словами, требуется
