Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
связано с тем, что продолжение функции G* в указанные области приводит к
аналитической функ-
* Последнее свойство вытекает из асимптотических условий (23. 9).
224
ции (fi и /п). Поэтому функции G и ImG =° 2 G имеют в этих
областях одинаковые особенности.
Таким образом, в каждой полуплоскости комплексной переменной z имеется
две различных функции G (р, z). Одна получается
аналитическим продолжением функции G (р, е), другая определяется
непосредственно спектральной формулой.
Вполне аналогичные высказывания можно сделать и в отношении парной
функции Грина. Единственное отличие состоит в том, что при этом
химический потенциал ц следует положить равным нулю (в выкладках
фигурируют только состояния с одинаковым числом частиц).
23.8. Вернемся к представлению (23. 11) и подробно рассмотрим первое его
слагаемое, отвечающее распространению частицы,
со _>
с Гр, (23'28)
О
Как уже отмечалось, при отсутствии корреляционного взаимодействия функция
А принимает вид
А (}, Е) .-= 6(Е + ц - е^),
т. е. из всей суперпозиции выделяется лишь один член. При учете
корреляционного взаимодействия величина А не сводится к 6-функции, она
отлична от нуля при всех значениях Е. Однако
может оказаться, что функция А (р, Е) имеет более или менее резкий
максимум около точки Е = Е-> - ц с шириной Г-" < Е->.
р р р
С формальной точки зрения наличие у какой-либо функции резонансного
поведения означает, что аналитическое продолжение этой функции в
комплексную плоскость ее аргумента выявляет полюс, лежащий близко к
действительной оси.
В этом можно убедиться непосредственно. Пусть аналитиче-
ское продолжение функции G (р, Е) в нижнюю полуплоскость приводит к
появлению полюса в точке Е-> - u, - iT->. Тогда в ок-
р р
рестности полюса можно положить
G = р-_______________
Е - Е+ (г 4- (Г^.
Р о
И ¦
Л Гр. Е) ~ Im О Г, Е) ~ , <23. 29)
У. ' Р - ' ¦ Р : с
где Z-> - некоторая не зависящая от Е величина. Это выражение
р
справедливо при малых Г и на самой действительной оси.
Рассмотрим далее, какой зависимости функции Грина от разности времен tx -
12 соответствует рассмотренная ситуация. Нужно, очевидно, исследовать
выражение
оо
I* Н В -^
G г)= .1 1й 6 е)ехр (~~iex) =
= -i j dEA (p, E) exp [- i (p + E - id) t], (23. 30)
о
где t = (ti t2) > 0.
Здесь мы замкнули контур в нижней полуплоскости (см. приложение В).
Подставляя сюда выражение для А, отвечающее отсутствию корреляции,
получаем
G (р, т) - ехр (-I'e-"т), (23.31)
4 р '
что отвечает смыслу G как амплитуды перехода системы N + 1 частиц из
состояния в момент 12 в состояние в момент ti (см. § 10).
Рассматривая общий случай, предположим для простоты, что мы имеем дело
лишь с одним полюсом, и сместим контур интегрирования способом, указан-
Рис. 49 ным на рис. 49. Интегралы по
участкам 3 и 3' взаимно компенсируются (особенность является полюсом),
интеграл вокруг полюса дает после подстановки выражения (24. 29) вклад •
^4 (Р> т) ¦- %¦* ехР (- 1Е-*т - Г-"т). (23. 32)
р 4 р р '
Остается оценить вклады участков 2, 2' и 1. Интеграл по линии 2,2',
которой отвечает Е = Е' - iz, где z - расстояние между действительной
осью и рассматриваемой линией, может быть записан в виде
-> °° ->
<?2,2' {р, *) = j dE' ехр[-i (р 4- Е') т - гх]А (рЕ').
о
Выбором достаточно большого значения z этот интеграл может быть сделан
сколь угодно малым.
226
о
J'
Что же касается участка 1, то там Е - ix (х меняется От О до -оо),
поэтому можно написать
0 Г
0,6,т)~ + J т% ¦
- оо \ Р ) р-
Наиболее важный вклад в этот интеграл дают значения х, удовлетворяющие
неравенству
I - < Г < ?-" - р.
1 1 ~ Т ^ Р
Отсюда
GAP, *)
Эта величина при не слишком малых ехр (-Г->т) мала по сравне-
-У
нию с выражением (23. 32), что позволяет положить G (р, т) - = G4 (р, т).
Такой результат может быть истолкован следующим образом.
В принятых предположениях функция А (р, Е) имеет узкий максимум. Это
означает, что описываемое функцией Грина распространение частицы с учетом
ее взаимодействий с системой может быть заменено распространением
волнового пакета, составленного из свободных частиц, причем весовая
функция, опреде-
ляющая вклад каждой из частиц, равна А (р, Е). Такой волновой пакет
движется по необходимости нестационарным образом и затухает во времени,
причем тем сильнее, чем больше присущий ему разброс энергии.
23. 9. Спектральные представления можно написать не только для функции
Грина, но и для других связанных с ней величин, в частности для массового
оператора 199].
Будем исходить из соотношения
G"1 (р, е) = е - -М (р, е).
р
Переходя в комплексную плоскость z = г - р, рассмотрим функцию
G-1 (р, z) = z - (е-* - р)-М (р, z + р),
1 1 ~ равную -j-jzj и ТйТг)" выше и ниже контура С соответственно
(см. рис. 47). Выясним аналитические свойства функции G'1. Прежде всего
несомненно, что функции G-1 и G имеют общие особенности, расположенные на
контуре С; вне этого контура функ-
Ция G (р, z) особенностей не имеет и убывает по мере удаления от начала
