Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
- t Г- - е-> - Л4 (р, Е-> - i Г-*) =0. (24. 6)
р р р р р
Полагая Г^. < ?б и отделяя мнимую и действительную части
р р
приходим к системе уравнений, дающей следующие решения:
Е-> = е^. + Re М \р, Е-*), р р р
Im М (р, Е-*)
Г-> Р
D
'' д Re М (ЕЛ
1- V р'
(24. 7)
дЕ+
р
Мнимая часть функции Грина может быть выражена в виде
Im М
Im G
М I
Таким образом, величина Г и Im G обращаются в нуль одновременно. Как мы
видели в § 23, величина Im G меняет знак в точке е = [I и в предположении
ее непрерывности обращается в этой точке в нуль. При этом знак Г
положителен при е > р. и отрицателен при е << р.
* Это относится к случаю е > р. При е < р аналитическое продолжение G (р,
г) в верхнюю полуплоскость дает характеристики квазидырки, которая
описывается величиной Ф" (1), зависящей от времени по закону exp (CEt1-
Гб). 234
- Рассмотрим функцию Грина в окрестности точки е = р. Предположим для
простоты, что в системе не могут образовываться коррелированные пары,
приводящие к сверхпроводимости *. Тогда массовый оператор не имеет
особенности вблизи точки е = р. Это позволяет разложить выражение для G-1
G~ *(р, е) = е - е.* - Re М (р, е) - ilm М (р, е)
р
в ряд около точки е = р и р = р0 где р0 - корень уравнения р = е->|
+М(р0, р) = Е,\ . (24.8)
Р I Р=РО Р 1Ро
Используя выражение (24. 7), находим
G-1 (р, e)=ZT1[e- р - v(p - р0) - iZ-> 1т м], (24.9)
где Z-> = 1 -
р
дЕ-
д Re М (в, р0) де
р
- введенный выше фактор'
=ц
a v=Z->-^-j -скорость квазичастицы на границе Ферми.
Величина Z-Лт М пропорциональна (е - р)2 sign (е - р), т. е.
вблизи границы Ферми это бесконечно малая величина высшего порядка [1051.
Это обстоятельство позволяет заключить, что в окрестности границы Ферми
представление о квазичастицах может считаться оправданным. Именно по этой
причине понятием квазичастиц можно пользоваться лишь для
слабовозбужденных состояний системы.
24. 4. Сопоставляя выражение (24. 1) с выражением для свободной функции
Грина, мы видим, что в окрестности точки е = р точная функция Грина
вполне подобна свободной функции Грина. Исходя из смысла величины eF в
соотношении (10. 7), определяющей границу заполнения частиц, видно, что
химический потенциал р играет роль энергии, определяющей границу
заполнения квазичастиц. Таким образом, можно сказать, что характер
заполнения уровней квазичастиц системы в основном состоянии такой же, как
в идеальном газе. Если ввести числа заполнения квазичастиц п, то
n = 0Jp - Е+у (24.10)
Это соотношение справедливо только при условии малости Г-*, т. е. при
небольших значениях Е-> - р.
* Сверхпроводящей ситуации отвечает полюс функции М вблизи границы Ферми
[105]. В отсутствие сверхпроводимости разложение массового оператора
имеет вид:
М (р, в) = М0 (р, е) + га (в - р)2 sign (в - р) + +р(в-р)"1п( |е~^ )+¦¦¦,
где М0 - регулярная в точке р функция.
235
Величину р0, являющуюся корнем уравнения (24. 8), естественно считать
граничным импульсом квазичастиц. Она совпадает с величиной р0, введенной,
в разделе 24. 2. В условиях применимости теории возмущений (в частности,
в отсутствии эффектов сверхпроводимости) величина р0 та же, что и для
идеального газа,
Ро=(~У°> (24.11)
где q - плотность числа частиц системы [7, 106]. Точнее можно
сказать [107], что если уравнение ЕРо = р имеет
вещественный
корень (а в случае сверхпроводящей ситуации это не так [108]), то он
совпадает с выражением (24. 11).
Таким образом, распределение квазичастиц по импульсам представляет собой
ступенчатую функцию и может быть записано в виде
ой-еМ-р'). Р4-'2"
Интересно отметить, что и в распределении по импульсам истинных частиц,
которое совпадает с выражением (24. 12) лишь при отсутствии
корреляционного взаимодействия, также сохраняется, хотя и частично,
ступенчатый характер [109]. Для доказательства
рассмотрим общее выражение для q (/?)
е Ы =* f-^r0 (а е)-
с
Подставляя сюда выражение для функции Грина (24. 1) и учи-тывая, что
затухание Г-" меняет знак при переходе точки е = р
Р
или, что то же, р = р0, заключаем, что при р << р0 полюс функции Грина
лежит внутри контура С, а при р >• р0 выходит из него. Учитывая, что
вычет в этом полюсе равен ZPo, находим
е(р0-0) - e(p0 + o) = zPo. (24.13)
Так как величина q (р) заключена между нулем и единицей, приходим к
неравенству
т. е. скачок в распределении меньше, чем в случае идеального газа.
Примерный качественный ход q (р) изображен на рис. 50.
Отметим полезное соотношение, связывающее граничную энергию квазичастиц р
со средней энергией Е/N, приходящейся на одну частицу в основном
состоянии,
E/N = р. (24. 14)
Это соотношение, введенное Гугенгольцем и Ван-Ховом [106], справедливо в
применении к самосжатым однородным системам, которые находятся в
равновесии, если нет внешнего давления 236
(ядерная материя) *. Для доказательства можно воспользоваться
соотношениями Е = Nf (q), dE/dN = р, (dE/dQ)N = -q2 x X (E/N) = -P, где P
- внешнее давление. Это дает
¦ ¦ ¦ - р = E/N + P/q,
