Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
частицами можно трактовать как последовательность актов рассеяния частиц
друг на друга.
В этом параграфе будет дан вывод псевдопотенциала в рамках общей полевой
схемы и будут подтверждены результаты, полученные в § 1, 7, 18; методом
функций Грина будут найдены различные характеристики разреженной системы
частиц [77]. Эти результаты представляют собой разложения физических
величин в ряд по амплитуде рассеяния а, которая, как и радиус действия
сил R, считается малой по сравнению со средним расстоянием между
частицами *,
a/d<l. (26.2)
' ' * Случай, когда это отношений не мало (резонансный случай), частично
освещался в § 1 и 16.
249
Разложение по этому параметру (ему отвечает так называемое газовое
приближение) в первых двух порядках описывает только парные корреляции
между частицами. Начиная с членов порядка (a/d)3, необходимо учитывать
также вклад трехчастичных и более сложных корреляций. Оценки показывают
[31], что вклад трехчастичных корреляций в энергию основного состояния
разреженной системы определяется соотношением
Е ^0,1 (ap0)a^N. (26.3)
В теории ядерного вещества в последние годы получил широкое
распространение так называемый метод Бракнера [2]. В своей основе этот
метод состоит в точном учете парных корреляций между частицами при полном
пренебрежении трехчастичными и более сложными корреляциями. В то время
как в приближении Хартри - Фока описывается движение отдельной частицы в
самосогласованном поле остальных частиц, в методе Бракнера дается точное
описание взаимодействия каждой пары частиц, движущихся в
самосогласованном поле остальных частиц.
Метод Бракнера вряд ли может считаться удовлетворительным. В самом деле,
если параметр a/d не мал по сравнению с единицей, то метод Бракнера не
учитывает сложных корреляций, начиная с трехчастичных, которые вносят
существенный вклад. Если же указанный параметр мал, то в рамках этого
метода излишне учитываются все степени параметра a/d. Можно сказать, что
в области своей применимости, когда можно пренебречь трехчастичными
корреляциями, метод Бракнера по существу совпадает с газовым
приближением.
Полученное Бракнером хорошее согласие с опытом в отношении целого ряда
характеристик ядерного вещества следует отнести за счет фактической
малости параметра a/d. Благодаря этому можно избежать той громоздкости
аппарата, которая присуща методу Бракнера *, что подтверждается
результатами § 7, 18, полученными в рамках газового приближения с учетом
первых членов разложения по параметру a/d. Метод Бракнера может оказаться
оправданным лишь в тех случаях, когда по каким-либо причинам парные
корреляции между частицами являются выделенными, например при описании
сверхтекучести ядерного вещества.
26. 2. Переходим к решению уравнений для функций Грина разреженной
системы многих частиц. Поскольку мы требуем лишь выполнения условия (26.
2), параметр борновского приближения а' - MV0R2 может быть и не мал по
сравнению с единицей.
* Бракнер и Гаммел [2] указывают, что им пришлось провести численное
интегрирование нескольких сот тысяч функций Грина соответствующего
уравнения.
250
Будем исходить из основного для рассматриваемой задачи уравнения
А (1, 2, 3, 4) = -\у4, 2) {-f [6 (1-3) б (2-4) -
- 6(1-4) 6 (2-3)] + 2 f d5 d6G0 (1, 5) G0 (2, 6) A (5, 6, 3, 4)}, (26. 4)
которое легко получить из уравнения (25. 1).
Ограничиваясь рассмотрением пространственно-однородных систем, переведем
уравнение (26. 4) в импульсное пространство, полагая /
А (1, 2,/§( 4) =- j(Pi, Qi; ръ q2; p3 q3; p". q*) x
X 6 (pr + р2 - р3 - Pi) exp [i (Pl 1) + i (p2 2) - i (p3 3) - i (Pi 4)].
После перехода к системе центра масс и введения суммарного импульса Р =
pi + рч = рз + Pi и относительных импульсов k = (Pi - рг)/2, k' = (pз -
pi)/2 получим следующее уравнение *:
A (P, k, k') = - 4- (2л)4 [v(k -k')-y(k+ V)] +
+ i j d*qv (k Go (P/2 + q) G0 (P/2 - q) A (P, <7, /г'), (26. 5)
где
A (P, fc, fc') ^ A (P/2 + k, P/2 - k, P/2 + /г', P/2 - /г').
Так как нет запаздывания, фурье-образ потенциала v зависит лишь от
пространственных компонент вектора передаваемого импульса. Предположим,
что таким же свойством обладает вели-
-4 -4
чина А (Р, k, k'), т. е. что наряду с Р она зависит лишь от k и k'. Это
предположение будет немедленно оправдано; оно позволяет провести в правой
части уравнения (26. 5) интегрирование по величине ? - четвертой
компоненте вектора q. Соответствующий интеграл
l=\J§^G0(P/2+q)G0(P/2-q) легко вычислить по правилам, изложенным в
приложении В,
id
е -|- б -у - Е - id ,
* Это уравнение аналогично основному уравнению метода Бракнера.
251
где Е - суммарная энергия, частиц (четвертая компонента вектора Р). Вводя
величину
N (а) = 1 - п -* - п '
j. р -> р
4+-J- ч 2
можно написать
/ .-= i--------------!>---------ггту- . (26. 6)
е - е - i6N (q) v >
-+ Р + Р
ч +- ч -г
Таким образом, интегральное уравнение (26. 5) принимает вид А {р, k, k')
--------------^-(2я)4 [y(k - k' ) - v )j -
