Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
состоять из нескольких ветвей (фононная, экситонная и другие ветви
твердого тела).
24. 3. Малость (в определенных пределах) корреляционного взаимодействия
между квазичастицами позволяет поставить вопрос об индивидуальных
характеристиках квазичастицы и в первую очередь о ее энергии. Будем для
определенности говорить о собственно квазичастице - одночастичном
элементарном возбуждении системы.
В двух предыдущих параграфах мы уже по существу подошли к ответу на
вопрос об энергии квазичастицы с двух разных точек зрения. В § 22 было
выяснено, что в предположении о- малости затухания энергию возбуждения
системы АЕп можно искать из уравнения
АЕп - 8; - М (р, АЕп) = 0. (24. 3)
Решение этого уравнения имеет мнимую часть, что соответствует затухающему
поведению функции Ф"
Ф" ехр [-i (Ер - iTp ) t\, (24.4)
* "Квазидыркой" мы называем объект, характеристики которого определяются
полюсом функции Грина при е<^ р. и который при выключении кбрелля-
ционного взаимодействия переходит в обычную дырку. К фермиевскому типу
относится электронный спектр в металлах Г1031, поляронный спектр ионного
кристалла [104] и. др. - i.'
232
где Ер - I Гр = АЕп - корень уравнения (24. 3). Появление отличного от
нуля затухания объясняется тем, что мы написали приближенное уравнение
для функции Ф", сделав определенные предположения о виде устойчивой
волновой функции нулевого приближения. На самом деле выбранная волновая
функция не вполне устойчива, а является суперпозицией нескольких
устойчивых функций, каждая из которых приобретает за счет корреляционного
взаимодействия свое значение энергии; это и приводит к появлению видимой
нестационарности состояния системы. Если реальным условиям соответствует
именно неустойчивая волновая функция, то выражение (24. 4) описывает
реальное затухание данного начального состояния системы.
Теперь можно ответить на часто возникающий вопрос о том, почему матричный
элемент Ф", полученный решением уравнения (24. 3), затухает во времени, в
то время как при выводе спектральной формулы используется выражение
дляФ", не содержащее никакого затухания. Дело в том, что в последнем
случае используется точное выражение для Ф", отвечающее истинному
стационарному состоянию системы; уравнение же для функции Ф", содержащее
только массовый оператор, отвечает заведомо нестационарному состоянию.
Рассмотрение эволюции квазичастицы требует введения именно неустойчивой
волновой функции. Уравнения (24. 3),(24.4), выведенные в предположении о
том, что функция ?в" (-оо) отвечает наличию одной частицы на фоне
основного состояния системы, описывают поведение этой частицы при
включении корреляционного взаимодействия. Возникающий при этом включении
объект и является квазичастицей. Совершенно аналогичным образом при
выключении корреляционного взаимодействия квазичастица должна переходить
в обычную частицу. Поэтому принятое предположение о виде функции ?в"(-со)
обязательно. Если же рассматривать истинное стационарное состояние
системы, то при выключении корреляционного взаимодействия мы придем к
состоянию, содержащему, помимо частицы, еще некоторое число пар. Это
состояние, конечно, содержит более одной квазичастицы *. Из вида волновой
функции, определяемой соотношением (24. 4), непосредственно следует, что
величина Ер, очевидно, совпадает с энергией квазичастицы. Видно, что
уравнение (24. 3) в точности отвечает полюсу функции Грина. При отыскании
корней этого уравнения необходимо только следить, чтобы их мнимая часть -
величина -Гр -была отрицательной, т. е. чтобы происходило именно
затухание.
К этим же результатам приводят рассуждения, основанные на спектральной
формуле для функции Грина. Как было выяснено в § 23, если аналитическое
продолжение функции Грина
* В стационарном состоянии не имеет смысла говорить о точном числе
квазичастиц, так как последнее не является интегралом движения.
233
в нижнюю полуплоскость имеет полюс в точке Ер - i Гр , то в возбужденном
состоянии системы присутствует узкий пакет стационарных состояний шириной
порядка Гр , причем эволюция системы происходит по закону (23. 4). Точнее
говоря, если считать, что
плотность уровней А (р, Е) сводится к своему полюсному члену (23. 29), т.
е. что возбужденное состояние отличается от основного только присутствием
волнового пакета, то этот пакет (квазичастица) имеет энергию Е-* и
затухание Г->.
р р
Таким образом, энергия (закон дисперсии) и затухание квазичастицы
непосредственно связаны с одночастичной функцией Грина. В однородном
случае обе эти величины определяются просто действительной и мнимой
частью полюса аналитического продолжения фурье-образа функции Грина в
нижнюю полуплоскость *. В общем случае для их нахождения нужно решить
уравнение, получающееся из выражения (22. 16) подстановкой Ф ~ exp (-i
Ent-Vnt), т. е.
(Еп - ( Г" Т - W)On (<7Х) - j dq2M (qlt q2, En-i Г") Ф" (qt), (24.
5)
где M (qlt q2, e) - фурье-образ массового оператора.
Рассмотрим подробнее с этой точки зрения однородный случай. Имеем
