Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
откуда при Р - 0 и следует соотношение (24. 14), удобное для проверки
согласованности результатов вычисления одночастичной энергии Е-> и полной
энергии системы [106].
24. 5. Укажем физический смысл величины Z->. Выражению (24. 1) для
функции Грина отвечает следующий выбор весовых функций А и В соотношениях
(23. 11) и (23. 13):-
А (р, е) =Z->d(E + р - ?->) + . . .,
Р Р
в{р, е) =Z^6(? -р + Е*) + . . ., причем Еч> считается близким к р, что
необходимо с точки зре-
р
ния малости Г-"-. В приведенных выражениях опущены слагае-.
мые, имеющие регулярное поведение и ответственные за непо-люсной член в
выражении (24. 1).
Функции А и В имеют положительный знак, значит Z-" >• 0
и окончательное неравенство для Z-> имеет вид
р
0<Z-*<1. (24.15)
р
Таким образом, скачок функции q (р) в точке р = р0 происходит в сторону
уменьшения q при увеличении р (см. рис. 50).
* Это означает, что энергия имеет минимум при данном значении g (дЕ/дд=
0).
237
Далее, переписывая выражение (23. 6') в виде А(р, ?) = |fln,->J26(? + p-
?;),
получим Z-> = | ап?р |2. Но величину ап^*р можно записать в виде
щ/р = <?| а;|?">,
где а-> - оператор уничтожения частицы в состоянии с импуль-
сом р. Значит, а"'р представляет собой амплитуду вероятности, a Z+ -
просто вероятность обнаружить одну квазичастицу в со-
р
стоянии аХ ?, где имеется одна обычная частица сверх основ-
р
ного состояния. Напомним, что состояние ?" содержит квазичастицу на фоне
основного состояния. Аналогичные рассуждения
можно провести с функцией В (р, е); при этом выяснится, что Z->
одновременно является вероятностью обнаружить квазидырку в состоянии с
одной дыркой.
Величина, аналогичная Z-", в релятивистской теории поля
р
называется константой перенормировки. Процедура перенормировки физических
величин-характеристик частиц (массы) и их взаимодействия (константы
связи), хотя и ассоциируется обычно с расходимостями теории поля, не
имеет по существу к ним прямого отношения. Цель перенормировки состоит в
том, чтсбы привести в правильное соответствие величины, фигурирующие в
теории, с наблюдаемыми на опыте величинами. В частности, масса свободной
частицы в релятивистской теории поля является ненаблюдаемой величиной,
поскольку не существует условий, при которых частица была бы изолирована
от своего собственного поля. Поэтому с наблюдаемой массой, которая должна
фигурировать в выкладках, следует отождествить не массу свободной
частицы, а величину, полученную с учетом всех эффектов взаимодействия
частицы с ее собственным полем. В этом и состоит процедура
перенормировки, которая в некоторых частных моделях приводит одновременно
к устранению расходимостей.
В свободной от расходимостей нерелятивистской проблеме многих частиц нет
никакой необходимости проводить перенормировку *. В данном случае массы и
заряды свободных (изолированных от системы) частиц являются
непосредственно наблюдаемыми величинами. Более того, задача
микроскопической тео-
* Сказанное не относится к тем частицам, которые своим существованием
обязаны взаимодействию между частицами системы - фононам, экситонам и.,т.
п. Для таких частиц перенормировка при определенной постановке задачи
может
стать обязательной (110-112].
238
рии в том и состоит, чтобы выразить интересующие нас характеристики
системы именно через характеристики свободных частиц.
Следует, конечно, иметь в виду, что при учете взаимодействия между
частицами их характеристики меняются. Меняется закон дисперсии частиц, в
частности, их масса. Меняется также и закон взаимодействия между
частицами (см. § 26, 27). Может оказаться удобным все рассуждения вести
на языке этих измененных характеристик частиц, что в известном смысле
эквивалентно проведению перенормировки. Однако в микроскопической теории
в конце концов понадобится выразить эти измененные характеристики через
характеристики изолированных частиц. Что же касается феноменологической
теории, то там перенорми-ровочный подход необходим.
24. 6. Рассмотрим энергию основного состояния системы на языке
квазичастиц. Подставляя в формулу (19. 20) спектральное соотношение (23.
11) и применяя теорему о вычетах, получим
оо
Е = ±- SpffT [ dPp f dEB (p, E) ( p - E +) . (24. 16)
0
Величина j dEB (p, e) определяет распределение по импульсам о (~* \
в основном состоянии системы (см. § 23), а сама функция В Е I дает
плотность уровней возбужденных состояний системы N - 1
частиц вблизи точки Е = АЕп + р. Функцию В (р, е) можно
представить в виде Im G (р, р - е). Поэтому
Е = \#Р f +
- 00
Продолжая Im О (или просто (?) в верхнюю полуплоскость, приходим к
особенности, находящейся в точке E-*- + t Г-*- *,
р р
/-> \ z-> е) = тпжг=7г7-
р р
Подставляя это выражение в предыдущую формулу и выполняя несложное
интегрирование, получим при малых Г
Е = 4- SpffT Г dspQ (р - ?-) Z-> {Е-> + р2/2М). (24. 17)
z j р р р
* Величины Z->, ?_>. и Г_>. отличаются от введенных выше, поскольку
анали-р Р Р
тическое продолжение делается в другой области и в другую полуплоскость.
