Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
членами порядка {t/d)2, достаточно выполнить одну итерацию. В результате
получим
При выполнении условия (26. 1) эффективные значения передаваемого
импульса малы по сравнению с импульсами частиц. Поэтому величина I
фактически не зависит от k, k'. Определяя
эффективный потенциал взаимодействия v3(M) [k - из условия
Таким образом, мы возвращаемся к введенному выше псевдопотенциалу *. В §
1 псевдопотенциал вводился в рамках проблемы
* Оператор 1 + г -- в низшем порядке разложения по / неэффективен.
(4я)2
М
Р f d3k
(P,2 - k2) [i -j- k2i2 (k, *)]'
l (pk) i (p, k)
_4-(2я)*-^-1 l(k, k') -
p :__________ \
j'
(26. 15)
будем иметь в низшем порядке по /
4я .
уэфф " /Ц
откуда эффективный потенциал
(26. 16)
255
двух тел и описывал рассеяние пары частиц в пустоте. Эффекты, связанные с
присутствием других частиц системы, могли быть при этом получены лишь на
следующем этапе выкладок (при построении теории возмущений). Что же
касается эффективного потенциала (26. 15), то он уже включает в себя
указанные эффекты (второе слагаемое). Отметим некоторые качественные
свойства эффективного потенциала во втором порядке по I. Заменяя /
константой во втором члене уравнения (26. 15) и учитывая тождество
где а - любое действительное число, нетрудно видеть, что величина U^P, k\
k'j и во втором порядке по / зависит лишь от суммарного импульса Р. Таким
образом, можно написать
У9фф(г) = /(Я)в(;), ¦ (26.18)
где / (Р) - функция Р, которую можно вычислить в явном виде-
26. 5. Заменить истинный потенциал взаимодействия через I следует и в
выражениях, отвечающих приближению Хартри - Фока. Для этого понадобится
выражение для энергии частицы е_,.
р
Величина е", определяется соотношением (см. гл. II)
р
= р2/2Л4 -!- l^-v(O) - J'dye {pi - р'2) v (р - р')
1
[здесь мы заменили JdgV на v(0)]. Вместо v нужно подставить выражение
(26. 14). Согласно тождеству (26. 17), величина ' -> -> \ -> -> v (р -
p'J не зависит от р и р' (при / = const): Поэтому можно
написать
е;-/А'2* <26л9)
где а - произвольное число. Мы видим, что закон дисперсии частиц остается
квадратичным (с точностью до постоянного слагаемого).
Выражение (26. 19) содержит расходящийся интеграл по k. Однако
окончательное выражение, включающее корреляционные эффекты, никаких
расходимостей уже не содержит.
Переходим к вычислению массового оператора. С этой целью переведем
выражение (25. 5) в импульсное представление
ММ = <2ДГSW?"{* + "¦ МпД +
+ -- (2л)4 [ v (0) - у (q - р)] J 6UlU260loa6U2Ul.
256
Согласно соотношениям (26. 8),-(26. 14) и (26. 15), эту величину можно
записать в виде
М(р) - -(g~ ^ /2 J d*qG0 (q) X
32 (g-- 1) i
1YI =
X [ d'q'
N (Я ) ________________________________________________________
n___________L_
-> -*\2
P-^ 9 ' -M(t,.+ e) - i6N(q')
4
где ?, e - четвертые компоненты q', p. Выполняя несложное интегрирование
по ?, получим
М (р) = М0 (р) - Ш{е~Х) 12 J d3qd*q' X
X jyv
{qy + AP+LL-&M:
где
.lr + i6(l-2n9-N(q') I '-К Р-тгЦг}, (26.20)
M J -
в точности компенсируется расходящимся членом выражения (26. 19).
-4 -У
Производя интегрирование по q и q', можно прийти к следующему выражению
для функции Грина:
0-1 Р'е)= 7пМ--\М (р>е)-М0$, е)]
(величина М -М0 будет приведена ниже).
Вычислим сначала энергию и затухание квазичастиц, приравнивая предыдущее
выражение нулю. Ограничиваясь учетом членов порядка /2, можно вместо е
подставить в М (р, е) величину р2/2М. Это даст (при g = 2)
= ~Ш + М Р°1 + 15я2м р^ С11 ~ 2 in 2) ~'
-Т^м^2(71п2-1)(Р-Р0)+--- (26.21)
Выражение (26. 21) справедливо вблизи р = р0. Величина затухания в этой
области имеет вид
г; = ^-Ро/2(Р -P0)2sign(p -Ро). (26.22)
Это выражение качественно согласуется с общими требованиями, которым
должно удовлетворять затухание. Оно действительно оказывается величиной
высшего порядка малости вблизи границы Ферми.
257
Определим химический потенциал системы, пользуясь общим уравнением р =
ЕРо. Из соотношения
и - ш D + 4г р"'+тк? <111 ¦-2 |п 2> <26- 23>
можно непосредственно вычислить энергию системы, используя р = (dE/dN)д.
Для этого проинтегрируем выражение (26. 23) по N, учитывая, что pzJЗя2 =
N/Q. В результате получим
?/Л'=-Пг4[1 +^-P.i+2iV(ll-21n2).p7]. (26.24)
К аналогичному выражению приводит общая методика, основанная на
псевдопотенциале (§ 18) *.
В данном случае теорема о равенстве р и Е/N не выполняется, так как мы
рассматриваем газ, не находящийся в "самосжатом" состоянии. Вычисляя Р =
- (0E/dQ)N, легко убеждаемся, что эта величина не равна нулю.
В заключение вычислим величину скачка в распределении частиц по импульсам
Z_>. Для этой цели нам понадобится разло-
р
жение функции Грина вблизи точек р = р0 и в = р. В этой области величина
М - М 0 имеет следующий вид:
[!(н-21п2>-га-Р1"2-"^-
- 1) -41п2^М,
Ро J
откуда
1-^(1п2)^/2. (26.25)
Эта величина близка к единице, так что распределение q (р) близко к
фермиевскому.
Подводя общие итоги проведенного рассмотрения, отметим что к тем же
