Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
энергетической частей.
К
7"
4-
Рис. 52
Таким образом, переход к компактной вершинной части в общем случае едва
ли может считаться возможным. В тех случаях, когда ^совокупности диаграмм
рис. 52 можно выбрать некоторую простую подсовокупность, наиболее
целесообразно составлять приближенные уравнения для некомпактной
вершинной части А. /
25. 3. Рассмотрим с этой точки зрения разреженные (нерезонансные)
системы многих частиц. Главными для таких .систем являются диаграммы,
содержащие минимальное число линий дырок. Проведенный в § 16 анализ
относился непосредственно лищь к габственно энергетической части, однако
полученные там результаты относятся и к вершинной части. Подлежащие учету
диаграммы А изображены на рис. 53. В линии частиц, входящие в эти
диаграммы, можно не включать собственно энергетических вставок, поскольку
они обязательно содержат дырочные линии.
При сравнении рис. 53 и рис. 52 видно, что из всех диаграмм рис. 52
достаточно оставить диаграммы с "горизонтальным" зацеплением Ak (рис. 54,
а). При этом обменные диаграммы получатся, если вместо простого
произведения функций Грина G0 (1,3), G0 (2, 4) ввести парную функцию
Грина G0 (1, 2, 3, 4). Совокупность диаграмм рис. 54, а можно заменить
диаграммой рис. 54, б. 242
Последней диаграмме можно с помощью правил Фейнмана поставить в
соответствие следующее интегральное уравнение:
А (1, 2, 3, 4) = А* (1, 2, 3, 4) +
+ §d5d6d7d8 Ak (1, 2, 5, 6) G0 (5, 6, 7, 8) А (7, 8, 3, 4).
и,
"4 2 4 2
- ^-4- ^^ -I-
- ! + I I + i
' +
• • •
3 2 3
Рис. 53
Компактную вершинную часть в рассматриваемом случае можно заменить ее
выражением в низшем порядке теории возмущений
ЛД1, 2, 3, 4) --т- V" (1, 2) [в (1-3) в (2-4)-в(1-4) в (2-3)1.
4 2
V
Рис. 54
Тогда получим следующее уравнение:
А (1, 2, 3, 4) = -¦ V (1, 2) 14- [6 (1 -3) б (2-4)-б (1 -4) X
X6(2-3)] + Jd7d8G0(l, 2, 7, 8)А(7, 8, 3, 4)). (25. 1)
В данном случае можно без труда написать для парной функции Грина
интегральное уравнение, являющееся аналогом уравнения Дайсона для
одночастичной функции Грина. Рассмотрим с этой целью комбинацию
Jd3 d4 Д (1, 2, 3, 4) G0 (3, 4, Г, 2') =
= Jd3d4 Д*(1,2, 3,4) [G0 (3, 4, Г, 2') +
+ d6 d7 d8G0 (3, 4, 7, 8) A (7, 8, 5, 6) G0 (5, 6, Г, 2')].
243
Величина в квадратных скобках совпадает с парной функцией Грина G (3, 4,
Г, 2'), поскольку разницей между функциями
G (1,2, 3, 4) и G0 (1, 2, 3, 4) в случае разреженной системы можно
пренебречь. Таким образом,
J Д (1, 2, 3, 4) G0 (3, 4, Г, 2') d3 dA =
= j d3 dA Ak (1, 2, 3, 4) G (3, 4, Г, 2'). (25. 2)
X
ZB
Рис. 55
Подставляя полученное соотношение (рис. 55) в уравнение (20. 11),
приходим к искомому интегральному уравнению для парной функции Грина
G (1, 2, Г, 2') = G0 (1, 2, Г, 2') +
+ 2§d3dAd5d6G0 (1, 3) G0 (2, 4) Ak (3, 4, 5, 6) G (5, 6, Г, 2');
подставляя для ДА его выражение, получим
G (1, 2, Г, 2') = G0 (1, 2, Г, 2') -
- i J d3 dA G0 (1, 3) G0 (2, 4) Г (3, 4) G (3, 4, Г, 2'). (25. 3)
Графически это уравнение изобр>а^кено на рис. 56.
X
X
+
X
Рис. 56
25. 4. Исходя из уравнения /(25. 1), нетрудно найти выражение для
одночастичной функции Грина. Достаточно ограничиться определением
массового оператора. Обращаясь к соотношению (20. 18), учшгывая'Гчто
диаграммы, отвечающие Мх и Л42, дают пренебрежимый вклад (включая
дополнительное число дырок), и заменяя функции G на G0, получим
М (1, 2) = - 4tjd3d4d5d61im К(1, 3)х
7->3 3>t 1
XG0 (3, 4) G0 (1, 5) Д (4, 5, 6, 2) G0(6, 7).
С учетом уравнения (25. 1) величина
- iV (1, 3) j" dA d5 G0 (3, 4) G0 (1, 5) Д (4, 5, 6, 2) может быть
представлена в виде
Д(3, 1,6, 2)+.4-^(1, з) [Д (3-6) в (1 -2) - в (3-2) в (1 -6)].
244
(25. 4)
Таким образом,
Л* (1, 2) = 4jd3d4 lim {Л(3, 1, 4, 2) +
5->3
td>ts>ti
+ 4 V (1, 3) [б (3-4) б (1-2) - б (3-2) б (1 -4)]) Go (4, 5). (25. 5)
Это выражение соответствует замыканию двух "хвостов" вершинной части.
Второй член в фигурной скобке (25. 5) компенсирует низший член разложения
Д в ряд теории возмущений.
Перейдем к вычислению энергии разреженной системы. Для этой цели удобнее
всего воспользоваться общим уравнением (19. 19), в которое следует
подставить уравнение Дайсона. Это даст
Е - Е0 =------~ f dqx lim f d3M (1,3) G0 (3, 2).
1 • 2-И J
, 1i
Рис. 57
В последнем сомножителе мы пренебрегли разностью между
д д
G и G" и заменили i+ Т на i -f Т + W (разница между этими выражениями
мала). Подставляя выражение (25. 5), получим Е - Е0 = -2i\dq1 lim
\d3d4d5x
2-И 6->4 / 2^>t 1
X {Д(4, 1,5, 3) -f-L V (1,4) [6 (4-5) б (1-3) -б (4-3) б (l-5)]j X
xG0 (5, 6) G0 (3, 2). (25.6)
Исследование полученных соотношений будет проведено в следующем
параграфе.
25. 5. В сжатых системах многих частиц наиболее существенную роль
играют диаграммы, содержащие максимально возможное число замкнутых
петель. Соответствующие диаграммы вершинной части Д изображены на рис.
57. Собственно энергетические вставки в сплошные линии диаграмм можно не
учитывать. Кроме того, можно отбросить обменные диаграммы.
