Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательна, уравнение (27. 11) имеет решения только при
v[&)>-0, т. е. при наличии отталкивания между частицами. Этот факт может
быть интерпретирован физически следующим образом. Как будет выяснено в §
28, возбуждение, отвечающее рассматриваемому полюсу, можно истолковать
как связанное состояние частицы и дырки. Это состояние может возникнуть
лишь при наличии сил притяжения между частицей и дыркой. Поскольку
частица и дырка имеют противоположный знак соответствующей константы
взаимодействия, для образования связанного состояния необходимо, чтобы
частицы отталкивались друг от друга. ¦
Рассмотрим сначала короткодействующие силы. В пределе
k -у 0 у (k^j стремится к конечной величине v (0) ~ К0-^3- Поэтому
коэффициент при / (?о) в уравнении (27. 11) будет по порядку
261
величины равен ар3 > 1 и соответственно / (?2) <г 1. Последнее
неравенство указывает на то, что величина ?2 велика. Поэтому
, gMpnv (0)
мы приходим к уравнению 1 = -¦ ¦ откуда
6я2?
<2Р2)
Этому решению отвечает так называемый нулевой звук [89, 114].
В системе с кулоновским взаимодействием, где v (k) = Але2Ik.2, уравнение
(27. 11) при k 0 дает
"о2-"1=Т' (27-12'>
где - частота плазменных колебаний, или лэнгмюровская. частота.
Существенно, что не зависит от k в области малых k (оптический спектр). С
ростом k в уравнении (27. 11) начинает играть роль член, пропорциональный
plk2/M2. При больших k уравнение (27. 11) дает м0 = p0k/M. Однако само
уравнение имеет силу лишь для малых k.
Перейдем к установлению правил обхода особенностей функции у (k),
предполагая, что уравнение (27. 11) имеет действительное решение.
Воспользуемся спектральным представлением парной
функции Грина, точнее, функции G (1, 2) = G (1, 2, 1, 2). Это
представление имеет вид (см. раздел 23. 6)
6 (л ') = -тгр?!тййпг-
о
Для нас существенно лишь то, что G (р, в) зависит от в только в
комбинации в2 + ib.
Свяжем теперь эффективный потенциал у с функцией G. Приравнивая друг
другу аргументы 1, Г и 2, 2' в уравнении (25. 9), найдем
G(l,2)-G(l, 1) G (2, 2) + G (1, 2) G (2, 1) =
= - i J d3 d4G0 (1, 3) G0 (2, 4) у (3, 4) G0 (3, 4, 1,2).
Переходя в импульсное представление, получим
5 (р) - G0 (р) = iy (р) П (- р) П (р). (27. 13)
Здесь мы опустили члены, содержащие интегралы от у, в которых эффективное
значение аргумента у порядка р" и велико. G" (р) -
значение G (р) в отсутствие корреляции.
Из уравнения (27. 13) следует, что величина у (р) должна фактически
зависеть от комбинации в2 + ib. Рассмотрим с учетом 262
этого обстоятельства функцию у (k) вблизи ее полюса. Используя уравнение
(27, 9) и факт четности у (k) относительно со, имеем
Совершенно ясно, что для определения правила обхода необходимо заменить
м2 на ы2 -f гб. Тогда точка полюса смещается
смещается в верхнюю полуплоскость, при ы0 >¦ О - в нижнюю. Тем самым
последующие выкладки приобретают должную степень однозначности.
27. 4. Исследуем эффективный потенциал взаимодействия между частицами
Этот потенциал обладает свойством запаздывания и характеризуется
зависимостью от tl - t2, отличной от б-образной.
Можно ввести некоторый усредненный эффективный потен-
вания и в среднем по времени совпадает с у. Приравнивая интегралы
потенциалов у и Уэфф б (т) по т = tx - t2, получим
Для выяснения смысла величины Уэфф рассмотрим потенциал, создаваемый
некоторым статическим заданным распреде-
лением частиц (внешний источник) с плотностью q . Без учета корреляции
этот потенциал имеет вид
где V (1,2) - истинный потенциал взаимодействия между частицами. При
учете корреляции требуется замена V у. Учитывая независимость q от
времени, находим
Таким образом, Уэфф определяет потенциал статических источников.
Подставляя в выражение (27. 14) значение поляризационного оператора при ?
0, найдем
Из этого соотношения вытекают важные физические следствия.
с действительной оси coq Wq - гб. Поэтому при ш0 -< 0 полюс
Y (1 > 2) = J" d*ky(k)exp {г [k{\ -2)]}.
циал
который не содержит эффектов запазды-
Уэфф Р) = JdTY(l, 2) = j d3ky (k, о) exp (i* г). (27. 14)
В (1) = jW(Г|2)e (2)1
(27. 15)
263
Рассмотрим системы с короткодействующими силами. Пусть расстояния г -
меньше радиуса действия сил R, т. е. в выражении (27. 15) k > MR. Тогда,
как указывалось в § 16, в ряде
интересных случаев потенциал v может быть записан в форме
v (Vj ~ V0R/k\ \
Соотношение (27. 15) принимает вид
W0~vy^xp(TV-L, (27.16)
где
К ^ ОV0Rp0M)'U ~ (ar\a)l/'R~l. (27. 17)
Поскольку ат]3 > 1, появляется экранирование исходного
потенциала взаимодействия. Силы взаимодействия между частицами становятся
более короткодействующими и меняют радиус действия от R до значения
Яэфф~И3Г1/2Я- (27.18)
Особенно ярко проявляется эта особенность сжатых систем в случае
кулоновских сил. При этом v = - и
Уэфф=еа-ехр-(7-оЛ) , (27.19)
где *
К= 2 {pjna о)
Чг
В этом случае физическая интерпретация эффекта дебаевского экранирования
особенно наглядна. Рассматривая для простоты модель однородного
