Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
184
Здесь S-матрица определяется уравнением
=(я;+бя")5 (2°-2б>
и описывает эволюцию системы под действием как гамильтониана
взаимодействия между частицами //', так и гамильто-
ниана ЬН.
Если обозначить через S0 решение уравнения (20. 26) при
б Н = 0, то, полагая 5 = 50 + 65, получим уравнение
= 6HS0.
Его решение, как легко проверить подстановкой, имеет вид
t
65 (t, - со) =-- - i j dxS0 (t, т) 6//d (t) 50 (t, - со) =
t
i | dx T [ЬНа (t) 50 (t,- со)]. (20.27)
- oo
Записывая поправку к G (1,2) за счет внешнего воздействия в виде б G (1,
2), получим
оо
дС (1,2)= Jrfr(^0|50|Y0)-1X 00
x{i(V0\Tl6HB(x)S0]\W0)G(l, 2)-- <^01 7' [э|,в (1) Ч>+ (2) (т) ^0] J
Y0)}.
Вспоминая определения функций Грина, можно написать
6G (1, 2) = f d36U(3) lim {G (1, 2)G(3, 4) - <7(1, 3, 2, 4)}. (20. 28;
J 4->3
Используя уравнение (20. 12), можно также выразить бG (1,2) через
вершинную часть А:
60(1, 2) - j d3 [0(1, 3) 6U(3) С (3,2) -f
f 4 Jd4d5d6d7G(l, 4)6U(3)G(3, 5) x
X A (4, 5, 6, 7) G (6, 2) G (7, 3)]. (20. 29)
Введем далее так называемую обратную функцию Грина G_I (1, 2), которая
определяется условием
j d2G~l (I, 2) G (2, 3) = Jd2G(l, 2)G-J (2, 3) -6(1-3). Очевидно, что в
импульсном представлении
G'1 (р, е) =- [О (р, е)] *.
Обратная функция Грина тесно связана с массовым оператором: 0_1(1, 2)=
G^(1, 2) + Л4(1, 2).
185
В самом деле, к этому соотношению можно прийти, умножая уравнение Дайсона
слева на G~* (3, 1) и справа на G~l (2, 4) и интегрируя по 2 и 3. Из
определения обратной функции Грина вытекает соотношение
6G-1 (1, 2) = -$d3d4G~1(l, 3) 6G (3, 4) G-1 (4, 2).
Умножим теперь уравнение (20. 29) слева на G-1 (. . . 1) и справа на G-1
(2, . . .) и проинтегрируем по 1 и 2.
Тогда
6G-1 (1, 2) = 6G-' (1, 2) + ЬМ (1, 2) = - MJ(\)b(l - 2) -
- 4 §d3d4d5b[/(3)G(3, 4) А (1, 4, 2, 5)G(5, 3). (20.30)
Фактически здесь содержится два независимых соотношения, поскольку
изменение G~' в точности равно первому слагаемому правой части выражения
(20. 30). Поэтому можно написать просто
ЬМ (1, 2) = - 4 \d3d4dbbU{3) G (3, 4) А (1, 4, 2, 5) G (5, 3).
20. 8. Помимо важной для кинетики задачи об изменении функции Грина под
влиянием заданного возмущения полученные уравнения удобно применять также
для нахождения некоторых соотношений общего характера. С этой целью
следует выбрать такой оператор Ь[/, для которого изменение функции Грина
заранее известно.
Выберем, в-частности, 6U = а = const; при этом оператор ЬН равен aN, где
N- оператор полного числа частиц, коммутирующий с полным гамильтонианом
системы. По этой причине точная волновая функция системы Т- вообще не
изменяется при прибавлении ЬН (с точностью до несущественного фазового
множителя), а оператор фг (1) приобретает множитель ехр (-iati). В этом
можно убедиться, учитывая, что уравнение для возмущенного оператора ф,
имеет вид
+r0) = fd2*+(2)K(lt 2) фг (2) фг(1).
Таким образом, полное изменение функции Грина (19.3) равно
6G (1, 2) = -i a (G - t2) G (1, 2).
Соответственно
6G-1 (1, 2) = -га (t± - t2) G"1 (1, 2).
Подстановка этого выражения в соотношение (20. 30) дает (h - t2) G-1 (1,
2) = - гб (1 - 2) -
-4г Jd3d4d5G (3, 4) А (1, 4, 2, 5) G (5, 3). (20. 31)
186
Это соотношение, выражающее еще одну связь между одночастичной и парной
функциями Грина, дает в импульсном представлении * одно из так называемых
равенств Уорда. Его отличие от соотношения (20. 17) состоит в том, что
оно содержит только эффективное взаимодействие А, в то время как (20. 17)
включает в себя и истинный потенциал взаимодействия V.
Аналогичное равенство Уорда можно написать и для величины (xi - х2) G-1
[901.
20. 9. В литературе приводится и другое выражение для бG (1, 2) [88].
Для его вывода используем прием, позволяющий избежать предположения о
независимости от времени оператора б U.
Итак, пусть гамильтониан внешнего возмущения имеет вид выражения (20. 24)
с b(J, зависящим от времени. При этом выражение (20. 25) должно быть
заменено более общим выражением
G (1, 2) = - i (WQ | S+T [фв (1) ф+ (2) 5] | ?0).
Вычисление поправки к 5-матрице по-прежнему может проводиться по формуле
(20. 27). Для поправки к функции Грина получается следующее выражение:
6G(1, 2) = J dx {('Fq I 5+ (т, - со) ЬН(т) 5+ (со, т)х
00
ХГ[ФВ(1)Ф+(2)50]|Т0)-
-(WT[qB(l)q+(2)W(x)S0}\V0)}.
Можно перейти к представлению Гейзенберга с помощью общих соотношений,
приведенных в гл. III. Это дает
6G(1, 2)= |Л{(Т|бЯ(т)Г[фг(1)ф+(2)]|?)-
- оо
- (W | Т [фг (1) ф+ (2) бНт (т)] | V)). (20. 32)
Из этого выражения видно, что область интегрирования по х от Д до оо (при
А > t2) или от t2 до оо (при А < t2) автоматически выпадает.
* При переходе к импульсному представлению необходима некоторая
осторожность, связанная с неоднозначностью подынтегрального выражения
[89, 901. В импульсном представлении левая часть соотношения (20. 31)
имеет вид
_i^G-i(;,e).
187
Рассмотрим изменение матрицы плотности под действием внешнего
возбудителя. Полагая в соотношении (20. 32) /2 - - ti -у + 0, имеем
