Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Еоп ~ А0 -\- 2 *4 2
V ц
где суммирование производится по всем занятым состояниям частиц и дырок;
величина Е0 - энергия основного состояния (см. § 4). Иначе говоря, можно
записать следующее выражение для энергии возбужденного состояния системы:
Еоп - Е0 = 2 еv (nf - n[h)), (21.4)
V
где n(vp) - число заполнения частиц; n(vft) - число заполнения дырок в
рассматриваемом состоянии.
Разность Еоп-Е0 носит специальное название энергии возбуждения и •
обозначается через АЕ0п. Для одночастичного возбужденного состояния эту
величину можно представить в Несколько ином виде, полагая N достаточно
большой величиной. Запишем АЕ0п для рассматриваемого случая, явно
указывая число частиц:
AAore = Eon (W -f- 1) - Е0 (N).
Прибавляя и вычитая энергию основного состояния системы N + 1 частиц Е0
(N -{- 1), будем иметь
АД0п = А'Д0"+р, (21.5)
где A'E0n = E0n (N + 1) - Е0 (N + 1) - энергия возбуждения собственно
системы N + 1 частиц (или, что то же при большом А,
190
системы N частиц); р, = ^ E0(N + 1) - Е0 (N) - хи-
мический потенциал системы. Для однодырочного состояния в выражении (21.
5) следует изменить знак у р.
21. 4. Уровни энергии, отвечающие уравнению (21. 1), являются, как
правило, вырожденными *. Заданному значению энергии возбуждения АЕ0п
отвечает целое множество различных возбужденных состояний системы,
которые могут различаться как числом пар, так и состояниями частиц и
дырок, входящих в состав этих пар.
Начнем с рассмотрения парных возбужденных состояний. Простейшее состояние
такого рода отвечает наличию одной пары; соответственно его энергия
возбуждения записывается в виде ev - ец, где v - состояние частицы, р -
состояние дырки. Совершенно ясно, что если соотношение
&Еоп = ev -
(АЕт - заданная энергия возбуждения) может быть выполнено для разных
состояний1 р и v, то факт вырождения рассматриваемого уровня проявляется
непосредственным образом. Чаще всего спектр одночастичных состояний
системы носит непрерывный (или почти непрерывный) характер. При этом
обсуждаемое соотношение имеет множество решений. Общий вид волновой
функции состояния с одной парой, имеющего энергию возбуждения АЕт> имеет
характер следующей суперпозиции:
Yon (АО = 2 С^Ь (в" _ 6М - АЕ0п) а+Ь+У0, (21.6)
М-. v
где Срд, - соответствующие численные коэффициенты, а б-функция
обеспечивает постоянство энергии возбуждения.
Для одночастичного возбужденного состояния простейшей волновой функцией
является выражение
Ч'оЛЛ/ + 1) = 2 cv6 (ev - АЕ0п) а+У0. (21. 7)
V
Здесь пары вообще отсутствуют, и вырождение связано с возможностью
изменения состояния одной частицы,при сохранении величины энергии;
имеется в виду, в частности, изменение направления спина, импульса и т.
п.
Другая причина вырождения состоит в возможности выбора разного числа пар
k. Общее выражение для волновой функции состояния с энергией возбуждения
АД0" имеет, следовательно, вид
2 д *e(SeVi-2eM;.-A?j X
ХП (21.8)
*• У
аналогично и для (N + 1).
, * Мы избежали вырождения основного состояния системы, ограничившись
рассмотрением систем с заполненными оболочками.
191
21. 5. Приведенные разложения волновой функции возбужденного состояния
системы можно представить и в более удобной форме:
Ч'оп (N) = (I fiM72(r)on (<7i. Яг) N [ф+ (qx) ф {q2)\ +
+ I dQi, dqt, dq3, dq4<bw (qu q2> q3, q4) X
X N [ф+ (qx) ф+ (<73) ф (q2) ф (q4)] + • • •) Ф0; (21.9)
Ф0" (N + 1) = { J dq^on (qx) ф+ (qx) + J dqx dqa cfy., X
X Ф0" (ft, Яг, Яг) N Г'Ф+ (Яг) Ф+ (Я?) Ы) + * • ¦ I ^о- (21. 10)
Здесь введены нормальные произведения операторов для того, чтобы остались
лишь рождающие части операторов. Появление хотя бы одного оператора
уничтожения частицы или дырки немедленно приводит к нулевому результату.
Функции Ф0", определяющие вес, с которым входит в Ф0" заданная
конфигурация частиц и дырок, должны удовлетворять нескольким условиям. Мы
обозначили выше через 1, 3,. . . те аргументы Ф0", которым отвечают
операторы рождения частиц, и через 2, 4,. . . - операторы рождения
дырок. Разлагая Ф0"
по системе функций %v, т. е. переходя в энергетическое представ-,
ление, нетрудно видеть, что соответствующие коэффициенты разложения можно
выбрать отличными от нуля лишь в области выше границы Ферми для координат
1,3,..., и ниже границы Ферми - для координат 2, 4,. . . Прочие области
спектра автоматически выпадают из разложений (21.9), (21.10).
Помимо этого, функции Ф0" должны быть такими, чтобы в рассматриваемые
суперпозиции входили только состояния, отвечающие одной и той же энергии
возбуждения АЕ0п. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты разложения Ф0"
по системе %v содержали функцию б (eVl + eVs ~h . . ¦ - eV2 - eVi - -. .
.-AE0n), где со знаком (+) входят энергии, отвечающие координатам частиц
qlt q3,. . со знаком (-) - отвечающие координатам дырок q2, q3,. . . В
частности,
Фоп (*7i) = (1 ^v) ^ ((r)v ^Еоп) Xv (*7i)>
Фоп (Яъ Яг) = 2 (1 ^v) <5(ev АДоп)гХд (q2) (qx)x
|iV
где a - некоторые численные коэффициенты.
