Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Jd3 2 (1. 3) G0 (3, 2) = j d3M (1, 3) G (3, 2). (19.6')
172
Благодаря этой связи можно перейти от выражения (19. 1) к интегральному
уравнению Дайсона (рис. 36):
G (1, 2) = G0 (1, 2) + j йЪ d4G0 (1, 3) М (3, 4) G (4, 2). (19. 7)
Если подействовать на уравнение Дайсона слева оператором i Т -IV, то с
учетом соотношения (10. 6) получим уравнение
T-'V)-G(l, 2) - | d3M (1, 3) G (3, 2) = 6 (1-2). (19.8)
cehzi + ia = и -и = -и
Рис. 34 Рис. 35
Таким образом, и точная функция Грина является функцией Грина некоторого
уравнения, которое описывает распространение частицы. В приближении
Хартри - Фока это уравнение совпадало просто с индивидуальным уравнением
Шредингера частицы. В рассматриваемом же случае сюда добавляется еще
массовый оператор, который описывает изменение характера движения частицы
под действием корреляционного взаимодействия.
m = гг + г~№п
Рис. 36
19. 4. Перейдем теперь к энергетическому представлению, записывая
функцию Грина в виде
G (1, 2) = ^ f ё- exp [- te & - /а)1 Ы Xv (<7i) ^(е). (19. 9)
{XV
Вводя аналогичное представление и для массового оператора, можно
переписать уравнение (19. 8) в виде
(е - ev) (е) - ? (е) Gov (е) - бду. (19. 10)
О
Еще проще выглядят полученные соотношения для пространственно-однородной
системы. Полагая
G (1, 2) = J dipG (р, е) exp [ip (хх - х2) - t'e (tx - f2)] (19. 11)
и используя аналогичное представление для М, вместо выражения (19. 7)
получим
G (р, е) = G0 (р, е) [l + М (р, е) G (р, е)]
173
или, применяя выражение (10. 8) для G0 (р, ej,
G(p, е) = [е - г-+ - м(р, е)]_' . (19.12)
Правила обхода соответствующих особенностей G [р, е) будут рассмотрены в
§ 23.
Учет взаимодействия между частицами в приближении
Хартри - Фока привел к изменению их закона дисперсии (вели-
чина р2/2М заменилась на е->). Учет корреляционного взаимо-
Р
действия приводит, как показывает выражение (19. 12), к дальнейшим
изменениям в этом направлении. Фактически последние изменения носят более
глубокий характер.
19. 5. Через функцию Грина можно выразить рассмотренные в § 15
физические величины - матрицу плотности и энергию основного состояния
системы.
Начнем с одночастичной матрицы плотности. Как следует из выражения (15.
3), эта величина непосредственно связана с функцией Грина:
fffai ><72) = -г Пт <?(1,2). (19-13)
+о
Учитывая, что G зависит только от комбинации t\ - /2, а не от времен tx и
t2 порознь, и разлагая G в интеграл Фурье по этой разности
G^' 2) = f lSexP [- (^х - ^з)1 G (qu qt, в), имеем аналогично результатам
§ 15
# (ft, <7s) = - * J is G (ft, е) (19.14)
с
(контур С изображен на рис. 24).
Теперь нетрудно найти выражение для точной функции рас-
пределения / (х, р), разлагая G (qx, q2, е) в интеграл Фурье
по разности хг - хг
G (<Ь q" е) = Jd3pG ,р, е) ехр [ip (хх - х2)}.
Отсюда
f[x, p) = -fJ^G(x, р, г). (19.15)'
С
Для пространственно-однородной системы G (х, р, е) не зави-
-У -У ->
сит от л: и является просто фурье-образом G (хх - х2, е) по раз--" ->
ности Хх - х2. При этом величина
е(р) = ~ i s) (19.16)
с
дает распределение частиц по импульсам.
174
Перейдем теперь к выражению для энергии системы. Из результатов,
полученных в разделе 15. 4, следует
E = ~ir\d(li (iW1 + T)GQ' 2)' (19-17)
12 " t 1 -> ~f*0
Для пространственно-однородной системы
Е - - дг Spot J dtp (е + р2/2М) G (р, е) . (19.18)
С
Используя уравнение (19. 8), можно также написать
? = -tfdftlim J(r+-^)G (1, 2) +
+ -![ d3M(l, 3)G(3, 2)j. (19.19)
Для пространственно-однородной системы имеем
Е ------^ Spot j* d4p [е-> -f рг!2М -f- М (р, е)] G (р, е). (19.20)
с
Это выражение отличается от приведенного, например, в работе [881 лишь по
форме: фигурирующий здесь массовый оператор не включает в себя
самосогласованной части, равной е->. -р2/2М.
р
Другая форма выражения для энергии может быть получена, если ввести
параметр к (см. § 15). Приведем выражение для корреляционной энергии:
р р * Г dx г dc[i lim
с с<) - Oil! 2-> 1 А
q +о
x{Jd3M(l, 3) G (3, 2) - Я {G (1, 2) - G0 (1, 2)]). (19.21)
Для пространственно-однородной системы
1
Е-Е0 = SpotJ^J#рХ о с
X [l-X(e^-p2/2M)G0(p, e)j М (р, е) G (р, е). (19.22)
§ 20, ПАРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
20. 1. Наряду с одночастичной функцией Грина, описывающей
распространение одной частицы с учетом ее корреляционных связей с
системой, можно ввести понятие о функциях Грина вые-
175
шего порядка. Важнейшей из них является парная (или двухчастичная)
функция Грина, определяемая соотношением
0(1, 2, 1', 2') =
, ;ч2 (Y0|r^B(l)^B(2)^+(2')<(l')S]|T0)
4 (?0]5|?0> '
Переходя к представлению Гейзенберга, можно написать 0(1, 2, 1', 2') = (-
t)2 (? | Т [фг (1) фг (2) ф+ (2') ф+ (1')] | ?). (20. 2)
Парная функция Г рина описывает распространение двух частиц (двух дырок
или частицы и дырки) с учетом их корреляционного взаимодействия друг с
другом и с остальными частицами системы. Функция Грина, записанная в
форме (20. 2), опи-
2'_____2 г' г гг 1' г
:х: гх: =
+
Г 1 г' 6
Рис. 37
еывает распространение двух частиц из точек Г, 2' в точки 1, 2. Если
