Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 43, б) приводит к замене в этом уравнении функций типа G0 (1, 2, 3,
4) на G (1, 2, 3, 4). Для этого в последнее выражение надо подставить
соотношение (19. 1) и построить соответствующие графики. Таким образом,
можно написать (рис. 44, а)
G (1,2, Г, 2') = G (1, 2, Г, 2'^-)- jd3d4d5c!6 G (1, 2, 3,4) х
X А (3, 4, 5, 6) G (5, 6, Г, 2'). (20.9)
з: = ж + хм •
X = X + 1
Рис. 44
Это выражение можно несколько упростить, если учесть следующее свойство
симметрии всех вводимых функций вершинной части (см. раздел 14. 5):
Г (1, 2, 3, 4) = - Г(2, 1, 3, 4) = - Г(1, 2, 4, 3). (20. 10)
Таким образом (см. рис. 44, б):
G (1, 2, Г, 2') = G (1, 2, 1', 2') +
+ 2 Jd3d4d5d6 G(l, 3) G(2, 4)Д (3, 4, 5, 6) G(5, 6, 1', 2').
(20. 11) 1.79
Аналогичную процедуру можно проделать и с правой функцией Грина, что дает
(см. рис. 44, в)
G( 1, 2, Г, 2') = 5 (1, 2, Г, 2') + 4jd3d4d5d6 0(1, 3) х
X G (2, 4) А (3, 4, 5, 6) G (5, V) G (6, 2'). (20. 12)
Среди диаграмм вершинной части А имеются так называемые
некомпактные диаграммы, которые можно рассечь линией, пересекающей лишь
две сплошных линии диаграммы. В принципе можно было бы путем замены ядра
А в предыдущем уравнении на компактное ядро привести уравнение к
интегральному, являющемуся аналогом уравнения Дайсона для одночастичной
функции Грина
G (1, 2, Г, 2') = G' (1, 2, Г, 2') + jd3d4d5d6 х
X К (1, 2, 1', 2'; 3, 4, 5, 6) G (3, 4, 5, 6), (20. 13)
где ядро К может быть выражено через компактную часть А,
a G' через функцию Грина G (1,2) и т. д. Однако установить эту связь -
нелегкая задача.
Уравнение (20. 12), связывающее парную функцию Грина с вершинной частью
А, играет важную роль в полуфеноменоло-гической теории ферми-жидкости
Ландау [89]. Сама величина А оказывается тесно связанной с процессом
рассеяния квазичастиц друг на друге и при определенных условиях совпадает
с соответствующей амплитудой рассеяния.
20. 4. Существуют соотношения, связывающие между собой одночастичную и
парную функции Грина. К выводу одного из них мы переходим.
Подействуем оператором i ---- ТЧ1 на выражение для функ-
ции Грина (19.3). Используя уравнение движения для оператора поля в
представлении Гейзенберга (3.28), соотношение (9. 12') и правила
коммутации операторов при совпадающих временах (3. 27), получим.
(t^-Т) G (1,2) = 6(1-2) -
- ?jd3 (Y| 7*[^+(3) К(1, 3)^r(3)^r(l)^+ (2)] J Y>. (20Д4)
Приведем среднее значение операторов к виду парной функции Грина. Так как
времена ty и /3 совпадают, соответствующие операторы под знаком Г-
произведения менять нельзя. В $ 9 возможность такого обмена
мотивировалась тем, что упорядочение по времени все равно расставит
операторы в нужном порядке. Ясно, что если эти операторы отнесены к
совпадающим временам, то сказанное теряет свою силу.
Для приведения четырехчастичного среднего значения к виду парной функции
Грина нам придется временно ввести у первых 180
трех операторов этого среднего значения неравные времена. Тогда можно
записать
(V | Т [Ф+ (3) фг (3) фг (1) ф+ (2)] IV) = lim G (3, 1, 4, 2). (20. 15)
При этом операторы действительно приобретают нужный порядок. Таким
образом, искомое уравнение можно записать в виде
(i-gf - T)G(l, 2) + iJd3V(l, 3) lim G (3, 1, 4, 2) = 6 (1-2).
t 4~^ 11
(20. 16)
Если бы в левой части этого уравнения стоял не оператор i ~ - Т, a i - Т
- W, то деля на него обе части выражения (20. 16), мы смогли бы выразить
G (1, 2) через G0 и парную функцию Грина. Привести уравнение (20. 16) к
такому виду можно, если учесть соотношение
WQl G (1, 2) = j d3V (1, 3 )[R(q3, qs)G(l, 2)-- Я(<73. qi)G(qa,ti, 2)j,
вытекающее из определения оператора IV (см. § 4). Вводя сюда вместо
матрицы плотности функцию Грина G0 и вычитая полученное из выражения (20.
16), найдем
(l^-T-W)G(l, 2)-Mjd3V(l, 3)х X lim {G(3, 1, 4, 2)-G0(3, 4)G(1, 2) +
4->3
14 13 11 , 14-^ 11
+ G0(1, 4) G (3, 2)} = 6(1-2).
В более компактном виде это уравнение можно записать следующим образом:
G(l', 2) -G0(l, 2) = - i Jd3d4G0(l,3) V (3, 4) x X lim {G (4, 3, 5, 2) -
G0 (4 ,5) G (3, 2) -f- G0 (3, 5) G (4, 2)}. (20.17)
5->4
t 4^>t j tb~>t з
Проверить правильность этого соотношения проще всего, действуя на обе его
части оператором i Т- IV и учитывая
¦ 0t ^
уравнение (10. 6); при этом (20. 17) сводится к предыдущему уравнению.
Соотношения иного типа, выражаемые так называемой теоремой Уорда, будут
рассмотрены в разделе 20. 8.
Аналогичным образом, действуя оператором i - Т на парную функцию Грина,
можно было бы найти связь между парной и. трехчастичной функциями Грина и
т. д. Такая совокупность
181
бесконечного числа уравнений, каждое из которых связывает две соседних по
порядку функции Грина, могла бы в принципе служить для их нахождения.
Ясно, однако, что решение этой системы "зацепляющихся" уравнений требует
ее упрощения. В дальнейшем мы не будем этой системой пользоваться.
20. 5. Сопоставляя соотношения (20. 17) и (19. 7), можно выразить через
парную функцию Г рина, а затем и через вершинную часть массовый оператор
