Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
t (qlt q%, =
= * f dt № I [бЯг (т)> *i) % (4i> *i)] | ?>-
- oo
Этот коммутатор, конечно, нельзя вычислить в явном виде, поскольку
операторы отнесены к разным моментам времени.
Сведем полученное выражение к парной функции Грина. Среднее значение
перепишем прежде всего в форме
-А (qv q2) + A* (qt, у,),
где
А (<li> Я2) s | ^ (Я2> U) ¦г (?!' ti) ЬНг (т) | т>-Эту последнюю величину
уже нетрудно записать в виде \dq36Uq,(t3) lim G (1, 3, 2, 4).
J 4->3
t 11>^4> ^3
t 2~> 11
Таким образом, окончательно имеем
, tl
№ (<7i. <7г. С) = I (3) x
- со
X lim [G(l,3, 4, 2) -G* [1, 3, 4, 2). (20.33)
4-"3
t t 2~* t 1
Знание парной функции Грина невозмущенной системы дает возможность
вычислить одночастичные характеристики слабовозмущенной системы.
Полученное соотношение определяет ряд кинетических характеристик системы,
в частности величину проводимости.
§ 21. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ (ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ - ФОКА)
21. 1. В предыдущих параграфах речь шла почти исключительно об основном
состоянии системы. Важную роль в теории многих частиц играют также
вопросы, связанные с возбужденными состояниями системы, энергия которых
отлична от минимальной.
Наряду с возбужденными состояниями системы, содержащей то же число частиц
(N), что и в основном состоянии, значительный интерес представляют также
возбужденные состояния системы с иным числом частиц *. В первую очередь
имеются в виду воз-
* В дальнейшем мы будем указывать число частиц в аргументе волновой
функции.'Возбужденные состояния системы N частиц будут называться
парными, системы N ± 1 частиц - одночастичными (однодырочными).
188
бужденные состояния системы с одной лишней частицей или дыркой, т. е.
содержащие N ± 1 частицу.
Важный класс задач теории многих частиц сводится к исследованию
взаимодействия некоторой внешней частицы с системой частиц того же сорта.
Попадая в такую систему, частица может отдать ей значительную долю своей
энергии, возбудить систему и "застрять" в ней на более или менее
длительное время. Возникшее состояние системы принадлежит, очевидно, к
обсуждаемому классу.
21. 2. Рассмотрение возбужденных состояний системы, как и основного
состояния, целесообразно начать с приближения Хартри-Фока. Обозначая
через Ч*^,, и Еоп соответственно волновую функцию и энергию возбужденного
состояния, можно написать
(21-1)
где принято, что гамильтониан нулевого приближения Н0 совпадает с
выражением (4. 29). При таком выборе Н0 самосогласова-ние проводится лишь
в рамках конфигурации, отвечающей основному состоянию системы.
Соответственно только это последнее состояние описывается наилучшим
образом (см. § 4). В принципе можно было бы строить для каждого состояния
свой гамильтониан нулевого приближения, требуя минимума величины (Ч*-^ |
(Н - Н0)21Ч*-^ \. Но такая постановка задачи привела бы к неоправданному
усложнению аппарата. Поэтому гамильтониан приближения Хартри-Фока здесь и
в дальнейшем выбран единым для всех конфигураций; он дает наилучшее
описание основного состояния системы. В следующей главе, посвященной
квантовой статистике, гамильтониан Н0 выбирается из условия (Ш-- Н0)2 )о
-min, где символ (...)" означает статистическое усреднение по ансамблю
Гиббса. Он дает наилучшее описание системы в среднем.
Теперь для описания возбужденных состояний системы можно сохранить весь
развитый выше аппарат. В частности, сохраняют свой вид волновые функции
базиса %v, выражения для операторов поля. Имеются, однако, два
обстоятельства, которые приводят к некоторым особенностям описания
возбужденных состояний системы. Первое состоит в том, что среднее по
состоянию Ч*-,,,, от N-произведения операторов поля оказывается отличным
от нуля. Второе обстоятельство связано с вырождением возбужденных уровней
энергии.
21. 3. Рассмотрим некоторые свойства решений уравнения (21. 1),
которому удовлетворяют волновые функции состояний с фиксированными
числами заполнения. Частное решение уравнения (21. 1) для парного
возбужденного состояния можно всегда выбрать в виде
п(Ю= П а+Ь+У0. (21.2)
I, /= I
.189
Оно отвечает наличию k пар с частицами, находящимися в состояниях vt-,
и дырками в состояниях р,-; при этом eV/.> vF,
ек/ гр- Аналогично для одночастичного возбужденного со-
стояния системы можно написать
Von(N+l) = a+ П а+Ь+У0. (21.3)
с, /=1
Число k в обоих случаях ничем не фиксировано, но должно быть меньше
полного числа частиц N.
Чтобы непосредственно убедиться в том, что выражения
(21. 2) и (21.3) действительно удовлетворяют уравнению (21. 1), и
вычислить соответствующую энергию Еоп, рассмотрим коммутаторы:
[Я0, at] = evat, [Д,> bt\ = ~чК-
Здесь использовано соотношение (4. 3) и равенство A^AV = = bvbt (ev< eF)
(см. § 8). Таким образом, последовательно перенося оператор Н0 через
операторы а+, Ь+ в выражениях для мы действительно убеждаемся в том, что
[последние
представляют собой собственные функции оператора Н0. Что же касается их
собственных значений, то та же процедура дает
