Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
подставляя в него разложение 5-матрицы:
со 0
[Я05(0, -сю)] = ^ ^ 5 dr, ...drnx
П= 1 - оо
ехр (б ) Ki, (9.28)
X
где
Кп = Т[Н0,Н'в(х1)...Н'в(хп)}.
99
Поскольку Я0 не зависит от времени, его можно внести под знак Т-
произведения.
Гамильтониан Н0 при коммутации с любым оператором в представлении
взаимодействия приводит к дифференцированию этого оператора по времени.
Поэтому можно написать
Kn = -in-^-T \н'Лх1)...Н'ъ{хп)\.
Здесь использована, во-первых, симметрия подынтегрального выражения (9.
28) относительно перестановки точек тх . . . хп и, во-вторых, возможность
перемены местами символов д/дх и Т в случае произведения одинаковых
сомножителей. Эту возможность проще всего усмотреть в простейшем случае п
= 2. Дифференцируя выражение (9. 12") и учитывая соотношение ^ ^ = = ±6
(х), находим
4гт (Ti) Нв (Та) ^6 (т1 -Тг) ^Нв (Тг)]=°-
Здесь использовано то, что из-за наличия б-функции возникает коммутатор
двух равных операторов; это, естественно, приводит к нулевому результату.
Интегрируя выражение (9. 28) по переменной тх по частям, можно написать
следующее выражение для [Н0, S (0, -оо)]:
2 -((^-1ТГ { i dXi ¦ ¦ ¦ dXn ехр 2 т') (°) х
О
X Т [у/в (т2) . . Яв (Т")] - б j dx1...dxn х
X
exp ( б 2 тг ) ХпТ [Яв К) . .. Яв (т")] .
Первый член этого выражения совпадает с -КН'в (О)S (0, -со). Второй член
может быть записан в виде i6k dS °°^ . Соответствующее дифференцирование
обеспечивает правильный численный коэффициент, добавляя в числителе
необходимый множитель п.
§ 10. СВЕРТКИ ОПЕРАТОРОВ
10. 1. Прежде чем переходить к дальнейшему преобразованию выражения для
S-матрицы, необходимо рассмотреть так называемые свертки операторов в
представлении взаимодействия, определяемые соотношением
ад = т <ад> - N (ад), (Ю.1)
10Э
где Flt 2 - операторы поля ip или ip+ *. Учитывая соотношение (9.' 12) и
выражение для У-произведения двух операторов, можно написать
F\ (xi) F2 (х2) =
(Xi)(._), (-1i;a)(+)} W ^2> | ПО 21
{^1 (;V'l)( + )> ^2 ) } ^1 4- I
Отсюда видно, что свертки операторов ipip и ip+ip+ тождественно равны
нулю (см. раздел 8. 5), а свертка операторов ip и ip+ представляет собой
с-число. Это последнее свойство позволяет записать с учетом выражения (8.
11)
1р (х,) 1р+ (х2) = ( ?0 I Т [1р (хг) 1р+ (х2)] | ?0). (10. 3)
При перемене местами свертываемых операторов свертка меняет знак:
ipip+ = -ip+ip. (Ю.4)
Приведем явное выражение для свертки (10. 3). Подставляя в соотношение
(10. 2) выражения (8. 8), получим
ip (xjip+ (х2) = 2 хС (Ч2) %V Ш ехр [- iev {tx - t2)} X
V
П - nv G >• L
При 11 - t2 -> -0 свертка совпадает с одночастичной матрицей плотности
системы.
Найдем уравнение, которому подчиняется свертка. Запишем с этой целью
выражение (10. 3) в явном виде:
1р (%И>+ (х2) = 0 (tx -tt) { ?01 Ipip+1 ?0) - -e&-f1)('P0|ip+ip|'F0).
Учитывая уравнение (9. 2) для ip, соотношение дв (±t)/dt = = ±6 (t) и
соотношения коммутации (9. 4) при одинаковых временах, получим
w) 1р (%)~1р+ (х2) = j64(Xj - х2), (10.6)
где б4 (х) = б (t) б |х]. Величина G0 (х1( х2) = -tip (Xj) ip^ (х2)
является, таким образом, функцией Грина уравнения (9. 2) для оператора
ip(x). Ее называют свободной функцией Грина.
* В § 10-14 речь будет идти исключительно о представлении взаимодействия,
поэтому индекс "в" у соответствующих величин будет опущен.
101
Функцию Грина, отвечающую условиям (10. 5), удобно подвергнуть фурье-
преобразованию по разности. П - /2 = т *. Получаемая при этом величина
оо
G0(<7i><72,e)= j dxG0(xlt х2) exp (jet)
- оо
легко вычисляется с учетом соотношений, приведенных в приложении В:
00
[ exp (iax - бт) dx = .
О
0
1 exp (iax + бт) dx = ¦
- оо
В результате имеем
G0 (<7i, <72, е) = 2 ^ (?*) Xv (<7i) X
V
X * 1 ~nv Л-______________________"v_____________________|
I е - ev -j- id 1 е - kv - id j
.Для основного состояния системы, где nv = 0 (eF - ev), можно
написать **
G0(q1qi,B) = y Xv^Xvtoi) Q?
О \Ч1Ч2> / 8 - 8V + "6 Sign (ev - E/?)
Для однородной системы G0 (qlt q2, e) зависит лишь от разности
пространственных координат. Совершая фурье-преобразование
по хг - х2 = ?, имеем
<*о(р, е)о1о2, т,т, = J 4g0(<7i, <72, е) exp (-|). Подставляя в
соотношение (10. 7) выражение (4. 20), получим G0 (р, е) = • '
(Ю. 8)
е - ер 4- id sign (р- - р')
* При отсутствии переменного во времени внешнего поля функция Грина
зависит только от этой разности, но не от t1 и t2 порознь.
** Здесь sign (х) - знак величины х: sign (х) = 1 (дг> 0), sign (х) - - -
Цт < 0).
102
go всех приведенных здесь выражениях б - положительная бесконечно малая
величина.
10. 2. Функция Грина имеет сравнительно простой вид также в случае
медленно меняющегося в пространстве самосогласованного поля. Речь идет о
построении выражения для функции Грина в приближении Томаса - Ферми (см.
§ 5).
Запишем предварительно выражение (10. 7) в символической операторной
форме. Полагая
(Г + W)%v{q) = ev%v (q),
имеем
G0 (qx, q2, e) = {e - (T -f W)4t + id X
X sign [(7 + W)qi - eF]}~16(q1 - qi). (10.9)
