Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
для оператора в виде (8. 3), приходим к выводу, что волновая функция в
конфигурационном представлении оказывается равной 2(1-ttv)il{qQ)%v(q).
Это выражение уже
105
не равно 6 {q - q0). Можно сказать, что 6-образный волновой пакет
неизбежно должен был бы включать в себя состояния, которые в?0 уже
заполнены частицами, что, очевидно, невозможно из-за принципа Паули.
С физической точки зрения это означает, что попытка локализовать частицу
приведет к такой большой неопределенности в импульсе, что соответствующей
энергии хватит на рождение одной (или многих) пар. Возникающее при этом
состояние не имеет ничего общего с интересующим нас состоянием одной
локализованной частицы.
Таким образом, строгая локализация частицы в теории многих частиц вообще
невозможна. Но это ни в какой мере не делает непригодными предыдущие
рассуждения. Для построения полевого аппарата вполне достаточно
трактовать процесс распространения в том условном смысле и с теми
оговорками, которые были сделаны выше.
§ 11. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
11. 1. Вернемся к S-матрице и рассмотрим полученное в разделе 9. 3 ее
выражение в виде суммы Т-произведений. Это выражение неудобно по
следующей причине.
Каждое из Т-произведений содержит всевозможные операторы рождения и
уничтожения, расположенные в самом различном порядке относительно друг
друга. Поэтому при эволюции волно- . вой функции системы во времени S-
матрица, действуя на ? (t0),-не только уничтожает те частицы, которые
имелись в состоянии ? (^0), и рождает те частицы, которые должны
присутствовать в ? (t), но и приводит к рождению и последующему
уничтожению других частиц, не имеющих никакого отношения к ? (^0) и ?
(t). Например, процессу перехода из начального состояния, где было две
частицы, в конечное, где также имеются две частицы, отвечает не только
член S-матрицы, содержащий
?(+)?(+)?(-)^(-). но и член, скажем, типа
)^(+) -
Здесь последние два оператора приводят к рождению и последующему
уничтожению некоторой "лишней" частицы.
Эти'"лишние" частицы [их называют виртуальными в отличие от реальных
частиц, присутствующих в ? (/0) или ? (t) ] играют существенную роль в
интерпретации высших членов ряда теории возмущений и не могут быть
устранены из аппарата теории. Однако способ их описания в терминах Г-
произведения неудобен,
106
Дело в том, что при таком описании реальные и виртуальные частицы
выступают совершенно равноправно. Поэтому, например, задача об отыскании
той части S-матрицы, которая отвечает данному процессу перехода реальных
частиц *, становится крайне сложной ввиду наличия в выражении для S-
матрицы операторов как реальных, так и виртуальных частиц.
Оказывается возможным приведение S-матрицы к такой форме, где фигурируют
операторы рождения и уничтожения только реальных частиц. Что же касается
виртуальных частиц, то их рождение и последующее уничтожение описываются
при этом с-числами (введенными выше свертками операторов). Связанное с
этим упрощение аппарата очевидно; в частности, выбор элемента S-матрицы,
отвечающего данному процессу, производится непосредственно по виду
входящих в эту матрицу операторов.
Для виртуальных частиц (виртуальных дырок) характерно то, что оператор их
рождения обязательно стоит справа от соответствующего оператора
уничтожения. В противном случае такая частица обязательно должна была бы
присутствовать в начальном и конечном состояниях. Нормальное произведение
операторов (см. § 8) характеризуется как раз обратным их расположением.
Поэтому интересующее нас преобразование S-матрицы связано с возможностью
представления Г-произведения в виде суммы нормальных произведений
операторов.
11. 2. Покажем, что приведение Г-произведения операторов к сумме
нормальных произведений всегда возможно и выполняется с помощью простых
правил.
Для пары операторов мы уже имели соотношение желаемого вида [см.
выражение (10. 1)]:
Т (Р,Р2) = N (F.F,) + F^N (1), АД1)=1. (11.1)
Правила построения аналогичных соотношений в общем случае даются
следующими двумя теоремами Вика.
1. Г-произведение операторов поля можно представить в виде суммы
нормальных произведений, выполняя свертывание всевозможных пар
операторов. Общий знак каждого из таких слагаемых определяется числом
перестановок операторов, необходимых для того, чтобы свертываемые
операторы стояли рядом:
Г (ад ... Fn) = N (ад, ... Fn) + FJ?2N(F3 ... Fn)~ - адлад .../?")+...+
ададлад ... Fn) + • • • (ii. 2)
Здесь FXF2 - свертка операторов Ft и F2.
* S-матрица описывает всевозможные процессы перехода. Часть S-матрицы,
отвечающая данному процессу, называется элементом S-матрицы процесса.
107
Рассмотрим соответствующий пример *:
Т [ф+ (1) ф+ (2) ф (3) ф (4)] = N [ф+ (1) ф+ (2) ф (3) ф (4)] +
+ Ю0 (3, 1) N [ф+ (2) ф (4)] - IG0 (4, 1) N [ф+ (2) ф (3)] -
- iG0 (3, 2) N [ф+ (1) ij? (4)] + tG0 (4, 2)ЛЛ[^-(1)1|? (3)] +
+ G0(3, 1)G0(4, 2) - G0 (3, 2) G0 (4, 1).
Здесь использованы определения функции Грина:
