Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 46

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 127 >> Следующая

очевидно, роли.
Необходимо принять во внимание операторные свойства потенциала V с целью
правильного его расположения в выражении для элемента 5-матрицы. Во всех
примерах, которые нам придется
* Например, рассмотренная выше диаграмма без свободных концов может быть
получена из диаграммы рассеяния второго порядка приравниванием eVj и еу ,
eVj и еу (см. рис. 17). При этом, как следует из выражения (12. 10),
возникает б (eVi*+ eVj - ev> - eVj) = б (0).
121
рассматривать, можно считать, что потенциал не содержит операторов
импульса. Единственный из числа рассматриваемых в книге случай, где
приходится иметь дело с зависящим от импульса потенциалом, это
псевдопотенциал отталкивания в ядерных силах. Однако соответствующие
члены имеют высший порядок малости и их достаточно учесть лишь в
приближении Хартри - Фока; к 5-матрице они не имеют отношения.
Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что потенциал V является самое
большее матрицей относительно дискретных переменных. Эта матрица
"зацепляется" либо с операторами свободных концов ф±, ф±, либо с
функциями Грина, зависящими от соответствующих аргументов.
Найдем величину численного коэффициента в элементе 5-мат-
(-i)n
рицы. Из общего выражения (9. 13) возникает множитель ^ ^
в члене л-го порядка. Далее, как видно из результатов, полученных в § 12,
возникает еще один целочисленный коэффициент k,. связанный с тем, что
может появиться совокупность членов, отличающихся только обозначением
переменных интегрирования. Определим величину этого коэффициента [78].
Рассмотрим какую-либо диаграмму общего вида и найдем количество способов
обозначения ее узлов. Прежде всего, можно переставить местами аргументы,
стоящие по краям каждой из л линии взаимодействия. Это дает 2п
возможностей. Далее, можно одновременно поменять местами аргументы разных
линий взаимодействий, что можно сделать л! способами. Итого мы имеем 2пп\
различных способов обозначения аргументов элементов 5-матрицы.
Однако при некоторых заменах переменных может оказаться, что само
подынтегральное выражение не меняется. Это может происходить при наличии
определенной симметрии диаграммы. Обозначая через х число таких
эквивалентных способов обозначений и учитывая, что при фактическом
вычислении элементов 5-матрицы члены с одинаковыми подынтегральными
выражениями вообще не появляются, находим k = 2пп\Ы.
Величину х можно определить непосредственно из рассмотрения диаграммы.
Обратимся к рассмотренным в § 12 конкретным процессам. При л = 1 k = 2/х.
Диаграммы рис. 8, а и б и рис. 10, а и б в точности переходят сами в себя
при замене 1 2. Поэтому
для них х = 2 и k = 1. Для остальных диаграмм первого порядка вид их при
замене 1 2 меняется: диаграмма "в" на рис. 8
переходит в "г"; "б" - в "с". Поэтому в этих случаях х = 1 и k = 2.
Перейдем к более сложному случаю процессов второго порядка, где k = 8/х.
Для диаграммы рис. 12 не существует преобразования, оставляющего ее
неизменной. Поэтому х = 1 и k = 8. Для диаграммы "а" рис. 13 такая замена
существует - это одновременная замена 1 /Д 2, 3^4, откуда х = 2 и k = 4.
Для диаграммы <"б" х = 1 и k = 8. Для диаграммы "в" замена 1 /Д 4, 122
2^13 оставляет ее неизменной, откуда х = 2 и k = 4. Наконец, замена 2 ^ 3
также не меняет диаграммы "а"; и в этом случае и = 2. Все это, очевидно,
находится в полном соответствии с выражением (12. 4).
Для диаграмм рис. 14 и = 1 и k = 8. Для диаграмм рис. 15 имеется две
замены, оставляющие диаграмму неизменной. Это 1^3, 2^Д4 и 1^.2 и 3^.4.
Поэтому и = 4 и k = 2.
В заключение остановимся на вопросе о знаке рассматриваемого численного
коэффициента. Как видно из результатов § 12, дополнительный знак (-)
появляется в 5 тогда, когда имеется нечетное число замкнутых петель. Это
не должно вызывать удивления, так как в замкнутой петле мы имеем дело со
свертками противоположного направления, например в простейшем случае
ф (1)ф+ (2) и ф+(2) ф (1), а их произведение равно -(iG0) (iG0).
Таким образом, окончательное выражение для численного коэффициента в
элементе 5-матрицы имеет вид
где т - число замкнутых петель.
13. 2. Теперь можно сформулировать правила построения выражения для
элемента 5-матрицы. Эти правила впервые установил Фейнман для квантовой
электродинамики.
Для построения выражения элемента 5-матрицы необходимо:
1. Графически изобразить все возможные топологически различные диаграммы
интересующего нас процесса *.
Выражение для элемента 5-матрицы представится в виде суммы членов, каждый
из которых отвечает одной из указанных диаграмм. В дальнейшем речь идет
об отдельной диаграмме.
2. Определить число и замен аргументов, не изменяющих вида диаграммы.
Численный коэффициент искомого выражения имеет вид
где т - число замкнутых петель на диаграмме.
3. Свободным концам диаграммы поставить в соответствие операторы ф
(*)(_) (уничтожение частицы в точке х), ф+ (х)<+) (рождение частицы в
точке х), ф (л:)(_|_) (рождение дырки в точке х), ф+ (х)(_) (уничтожение
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed