Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим матричный элемент (?0 <т)|5-1| ?0(")), где?0(") - собственная
функция оператора Н0 с собственным значением Е0(П)-Используя выражение
(9. 16) с t -> оо и соотношения
exp (-iH0t)W0 = exp (-iE0t)W0,
?*, exp (iH0t) = ?'o exp (iE0t),
легко проверяемые разложением в ряд, нетрудно видеть, что интересующий
нас матричный элемент пропорционален величине
оо
j exp [t (Е0 (т) - Е0 (n)) t - b\ t\]dt =
'- оо
= 2я6(?'о(ш) - E0(n))- (9.16')
Таким образом,
<?0(m)|S-l| ?<>(",) =
[= 2я6 (Ео (т) - Е0 (")) (?0 (tn) I O' | ?0 (га)). (9. 17)
Закон сохранения энергии проявляется, таким образом, в равенстве нулю
матричного элемента (9. 17) при Е0(т) ф Ео(Пу Иными словами, система в
процессе своей полной эволюции из состояния ?0 (") может перейти только в
состояние той же энергии. Этот вывод относится только к процессу полной
эволюции системы от --оо до оо. В самом деле, при наличии конечных
пределов интегрирования в выражении (9. 16') мы получаем не
6-функцию, а функцию, отличную от нуля при любых значениях разности Е0
(Ш) - Е0 (п).
Сделаем теперь предположение о том, что состояние ?0(П) является
невырожденным, т. е. что другие состояния той же энергии отсутствуют. Это
предположение справедливо, вообще говоря, для основного состояния системы
(по поводу возбужденных состояний см. § 21, 22). При этом необходимо
ограничиться рассмотрением систем с заполненными оболочками (см. раздел
4. 3), для которых числа заполнения зависят лишь от энергии уровня. Если
сравнить состояния такой системы, отвечающие одной и той же энергии, то
окажется, что они отличаются самое большее перестановкой частиц. По
существу же мы имеем дело с одним состоянием. Иначе обстоит дело для
незаполненных оболочек. Пусть, например, сверх заполненных оболочек
имеется один занятый уровень. Меняя направление спина соответствующей
частицы, мы приходим к другому состоянию той же энергии (для простоты
считаем, что силы не зависят от спина).
Предполагая здесь и в дальнейшем невырожденность основного состояния
системы, мы видим, что из всех матричных элементов
95
(9. 17) отличным от нуля является лишь диагональный элемент (^о (п)[ *51
(п))- Учитывая общее соотношение
S?0(n) = 2 (?<><") |5|?0(т))?0 (т),
т
приходим к соотношению
5?0 = <?0|5|?0)?0.
Учитывая равенство
(?01 | ?0) = 1 = | (?015 j ?0) |2,
находим
(5?0f- = ?;5+ = {?0|5|?0)-1?;.
Полученные соотношения выражают условие "устойчивости" основного
состояния системы: функция 5?0, являющаяся итогом полной эволюции
системы, совпадает (с точностью до несущественного множителя) с исходной
функцией ?0. Рассматриваемое состояние не меняется, таким образом, в
процессе эволюции системы.
9. 6. В дальнейшем возникнет необходимость перехода от представления
взаимодействия к представлению Гейзенберга и обратно. Соответствующий
оператор перехода U (см. § 2)
?r=i/?B, гМ*)--?/?.,(*) U~l
непосредственно связан с 5-матрицей:
U = S(0,t) = S+ (t, 0). (9.19)
Для доказательства достаточно вспомнить, что при t = 0 величины в обоих
рассматриваемых представлениях совпадают. Поэтому
?Г = ?в (0) = 5 (ОД) ?в (t).
Соотношение (9. 19) можно вывести и иным способом, учитывая соотношение
(2. 9):
U = ехр (ifft) ехр (-iH0t).
Дифференцируя его по t, нетрудно убедиться, что U удовлетворяет тому же
уравнению, что и S (0, t). Вместе с тем при t = 0 U = 1, т. е. полностью
совпадает с S (0, t). Аналогичным образом можно доказать и общее
соотношение
S (t, t0) = ехр (iff0t) ехр [-iff (t - t0)] exp (-iff0t); (9. 20)
оно, однако, является неудобным ввиду наличия в показателе экспоненты
суммы некоммутирующих операторов Н0 и Н'. Таким образом, можно написать
?г = 5 (0,0 ?"(/), фг(х) = 5(0Д)фв(х)5-1(0Д). (9.21)
В частности, полагая t -оо, получим
?г = 5 (0, -оо) ?в (-со).
96
(9. 18)
(9. 18')
Величина ?г совпадает с не зависящей от времени частью точной
шредингеровской волновой функции системы. Поэтому можно написать
(#" + #' - E)S(Q, - оо)?в(-оо) = 0, (9.22)
где Н' = Н'в (0) - гамильтониан взаимодействия в представлении
Шредингера; Е - истинная энергия состояния.
Для нахождения точной волновой функции системы ?г недостаточно знания 5-
матрицы; нужно еще располагать выражением для волновой функции ?в (-со).
Все последующее рассмотрение в этом параграфе будет посвящено этой
функции.
Исходя из соотношения (9. 14), можно заключить, что?в (-оо) должна
совпадать с волновой функцией нулевого приближения ?0. В самом деле, при
t -> -оо гамильтониан (9. 14) эффективно стремится к нулю, и
корреляционное взаимодействие между частицами системы оказывается
выключенным. По мере возрастания t это взаимодействие бесконечно
медленно, адиабатически (при 6^0) включается, и мы приходим к реальному
состоянию системы. При t +со взаимодействие также медленно выключается;
по этой причине должны совпадать также функции ?в (+оо) и ?0. Все эти
соображения составляют содержание так называемой адиабатической гипотезы.
Существенным является вопрос о том, какое именносостояние?0 соответствует
