Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
при t -у -оо данному, в частности основному состоянию ?г. Можно привести
некоторые доводы в пользу того, что ?0 описывает также основное состояние
системы, но при выключенном корреляционном взаимодействии.
С этой целью отметим, что фактор ехр (-6 [/[), входящий во
взаимодействие, нарушает стационарность состояний системы. Однако при 6 >
0 можно говорить о "почти стационарных" состояниях, характеристики
которых бесконечно слабо зависят от времени. В частности, энергия
состояния также зависит от времени, как от параметра. Эта зависимость,
разумеется, отсутствует при рассмотрении конечных интервалов времени, но
становится существенной при t-> ± оо.
Существует общая квантовомеханическая теорема об отсутствии пересечения
уровней энергии, зависящих от одного параметра и отвечающих одинаковой
симметрии [24]. Иными словами, при выполнении указанных условий уровень,
который был наи-низшим при одном значении параметра, останется таковым
при любом другом значении этого параметра. Совершенно ясно, что эта
теорема дает обоснование высказанному выше утверждению: основной при t =
0 уровень останется основным и при t -оо.
Что же касается симметрии рассматриваемых состояний, то для решения этого
вопроса можно использовать следующее обстоятельство. Как правило,
основное состояние системы имеет максимальную совместимую с данными
внешними условиями
97
симметрию. Поэтому рассматривать вопрос о пересечении уровней имеет смысл
лишь в случае их одинаковой, именно максимальной симметрии.
9. 7. Приведенные в предыдущем разделе соображения нуждаются в
дополнительном обосновании. Используя разложение S-матрицы в ряд теории
возмущений, можно провести более строгое рассмотрение. Поэтому для
доказательства совпадения функций ?в (±оо) и ?0 необходимо, чтобы
разложение соответствующих величин в бесконечный ряд по Н' качественно не
меняло ситуации *.
Мы покажем, что функция ?в (-со) удовлетворяет следующему уравнению (его
вывод см. в разделе 9. 8):
{ 4- (Я0 -'г S-'H0S) + 4 S-1 Ж - Е} ?* (-°°) = 0 • (9- 23)
Входящий сюда параметр X имеет следующий смысл: нужно заменить
гамильтониан Н' на ХН', вследствие чего S-матрица станет функцией X.
После проведения всех выкладок следует положить X = 1; величина 6 здесь и
ниже стремится к нулю.
Убедимся теперь в том, что функция ?0 также удовлетворяет уравнению (9.
23). Воспользуемся с этой целью условием устойчивости ?0 (9. 18) и
уравнением //(До = E0W0:
S-ад - E0S-lSW0 -= ?Д0.
Далее,, поскольку ?0 не зависит от X, можно написать
5-1 (ж) ?о = 5-1 ж т = Ж [1п ^ f'S I ?о )] •
Чрезвычайно существенно, что оператор сводится при
действии на ?0 к с-числу, т. е. ?0 является собственной функцией этого
оператора. В результате получаем условие, при выполнении которого ?0
удовлетворяет уравнению (9. 23):
?-?о = -4'-!-1п<?о|^о}- (9-24)
Это соотношение может само по себе служить для определения корреляционной
энергии системы [78]. В дальнейшем будет показано, что (?0|S|?0)
действительно имеет при малых б вид exp [L0/6], где L" (А,) некоторая, не
зависящая от 6 величина. Таким образом, разность Е - Е0 имеет в пределе
6^0 вполне определенную, не равную нулю величину.
Это приводит нас к выводу, что ?0 и ?в (-оо) отвечают одному и тому же,
по условию невырожденному уровню энергии, т. е.
* Осторожность в этом смысле следует соблюдать при наличии связанного
состояния, характеристики которого зависят от Н' неаналитическим образом.
98
просто совпадают друг с другом с точностью до несущественного фазового
множителя.
Окончательно выражение для волновой функции системы можно записать в виде
?г = 5(0,-со)?0, (9.25)
где ?0 - волновая функция основного состояния системы в приближении
Хартри - Фока. Еще раз подчеркнем физический смысл этого соотношения. При
t = -оо корреляционное взаимодействие отсутствует, система находится в
состоянии ?0 с собственным значением Е0. При возрастании t взаимодействие
медленно включается и к моменту t = О Ч'-0 переходит в?, - точную
волновую функцию системы с собственным значением Е.
Аналогичное соотношение существует и для моментов t = О и t = +со:
*Fr - S+ (00, 0) W0 ¦-= S (0, со) W0. (9. 26)
Доказывается оно тем же способом. В обоих соотношениях (9. 25), (9. 26)
имеются еще (различные) фазовые множители. Они выпадают из окончательных
результатов, имеющих прямой физический смысл.
9. 8. Приведем в заключение доказательство уравнения (9. 23),
основываясь на соотношениях, данных в работе [80]:
[Я0, 5(0,-оо)]Я'5(0, - оо)-[ i6 3S{0' со)
дХ
[Я0, 5 (со, 0)] =5 (со, 0) // - tfl dS (ff' 0)
(9.27)
(вывод этих уравнений будет дан ниже). Умножая уравнение (9. 23) слева на
S (0, -со) и разбивая 5-матрицу согласно соотношению (9. 7) на
сомножители 5 (со, 0) и 5 (0, -со), нетрудно с учетом выражения (9. 27)
свести уравнение (9. 23) к рассмотренному выше уравнению (9. 22).
Докажем теперь первое соотношение (9. 27) (второе выводится аналогичным
образом). Рассмотрим с этой целью коммутатор [//", S (0, -со)],
