Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Sp(7e) + 4-SP (V(q, QqQq') = Sp[(7' +-J-) в] •
Согласно выражению (4. 35), эта величина равна энергии в приближении
Хартри - Фока. Отсюда
Я0 = Е0 + JdqN [гр+ fa) (Г + W) * fa)]. (8. 12)
Таким образом, если за начало отсчета энергии принять энергию нулевого
приближения, то гамильтониан Н0 сводится к нормальному произведению.
Аналогичным образом оператор числа частиц N (см. § 3) можно представить в
виде
JV=jV + N>+fa)i|>fa)]. (5. 13)
Входящий в правую часть этого выражения оператор после подстановки в него
разложения (8. 3) Приводится с учетом выражений (8. -7) к виду
V
*88
т. е. описывает разность числа частиц и дырок. Этот оператор, как и N,
коммутирует, очевидно, с полным гамильтонианом системы.
Переходим к упрощению гамильтониана взаимодействия. Сравнивая выражение в
фигурных скобках соотношения (8. 1) с выражением (8. 10), получим
Н' = 4~ J dq dq'V (q, q') N [ф+ (q) ф+ {q') ф (q') ф (q)].
Можно без труда показать, что для потенциала V, являющегося оператором,
это выражение примет вид
Я' = ~§dqdq'Nlty+(q)y+(q') V(q, q') ф {q') ф fa)]. (8. 14)
Возможность представления гамильтониана взаимодействия в виде нормального
произведения обусловлена исключительно тем фактом, что в качестве
нулевого приближения выбрано приближение Хартри - Фока. Это существенно
упрощает последующее рассмотрение.
§ 9. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
9. 1. Перейдем к построению аппарата теории возмущений, позволяющего
производить разложение физических величин в ряд по Я'.
Переведем в представление взаимодействия операторы поля Ф (?). Ф+ (<7)>
обозначая буквой х совокупность координаты q и времени t. Согласно общей
формуле (2. 7),
фв (х) = exp (ifi0t) ф (q) exp (-iH0t),
где в качестве #о мы выберем гамильтониан приближения Хартри - Фока (4.
1). Соответственно зависимость от времени волновой функции системы будет
определяться корреляционным гамильтонианом Я'.
Используем для вычисления фв (х) общее соотношение (см. приложение Б)
exp (а) Ь ехр (-а) = 2 1а [а ¦ ¦ ¦ [я, Ь] ... ]],
л=0 ' "
где а и Ь - произвольные операторы. Учитывая правила коммутации (3. 10),
будем иметь
[Я0> ф (</)] = -(Г + И0Ф(<7).
откуда
П
Шо > • • Шо. Ф Ш ¦¦¦] = (-1)" (Т+ W)" ф (q)
89
и
фв (х) = exp [-it (Т + W)] ф (q). (9. 1)
Дифференцируя это соотношение по времени, можно найти уравнение движения
для оператора фв (х):
i^l=(T+W)^(x). (9.2)
Подставляя в выражение (9. 1) разложение (8. 3) и учитывая соотношение
(4. 2), находим окончательное выражение для операторов поля:
Фв (х) =2 (Ф ехР (-КО,
, х? 4. * (9.3)
фв (х) = 2i (q) exp (ievi).
V
Как видно из этого соотношения, рассмотренное преобразование свелось к
замене не зависящей от времени части волновой функции частицы %v (q)
полной волновой функцией %v (q) exp (-izvt).
Установим правила коммутации операторов фв (х), ф+ (х). Учитывая
соотношения (8. 5) и (9. 3), имеем
{фв (X) ,Ф^ (У)) = 2 ъ (ч') Xv (q) exp [-t8v (t - t')] . (9. 4)
V
Остальные антикоммутаторы равны нулю. При t = t' правая часть выражения
(9. 4) переходит в 6 (q - q'), что, очевидно, находится в соответствии с
соотношением (2. 11).
Переведем далее в представление взаимодействия гамильтониан Я'. Принимая
во внимание соотношение (2. 10), можно написать
я; $=4- х
X J dq dq'N [ф+ (х) ф ^ (х') Уфв (х) фв (х)}. (9. 5)
Здесь
х = {q, t)\ х' = (q', t).
9. 2. Закон изменения со временем волновой функции системы в
представлении взаимодействия определяется общим уравнением (2. 6)
Введем оператор (S-матрицу или матрицу рассеяния) S (t, ?0), связывающий
значения волновой функции в моменты времени t и t0:
(9.6)
90
S-матрица должна удовлетворять некоторым условиям. Во-первых, она должна
быть унитарной матрицей
SS+ = S+S = 1;
это свойство обеспечивает сохранение нормы волновой функции. Во-вторых,
S-матрица должна обладать следующими очевидными свойствами *:
= | (У' > Второе из этих соотношений вытекает из условия унитарности и
условия
S(t0,t 0) = 1. (9.8)
Найдем уравнение, которому удовлетворяет S-матрица. Подставляя выражение
(9. 6) в уравнение Шредингера, нетрудно получить
i(tm)?U- = ff'B(t)S(t,t0). (9.9)
Начальным условием для решения этого уравнения является соотношение (9.
8).
Рассмотрим процедуру разложения S-матрицы в ряд по Н'\
со
Wo)=l+25"(W (9- 1°)
n=i
Здесь Sn содержит произведение п операторов //'; нулевой член разложения
выбран равным единице, так как в отсутствие Н'ъ никакой эволюции ?в не
происходит.
Приведем уравнение (9. 9) к интегральной форме, интегрируя обе его части
по / с учетом условия (9. 8):
t
S(t,t0)= l - i$drH'B(r)S(r,t0).
to
Подстановка в это уравнение разложения (9. 10) дает рекуррентную связь:
t
Sn it, t0) = - i J dr Ha (t) S"_J (T, t0),
to
используя которую можно написать
Sn it, о = i-i)n j dr, j dxt... j1 drnH's (TX)... я; (т"). (9.11)
to to to
* Эволюцию системы от t3 до t, можно рассматривать как результат
последовательной эволюции сначала от ^3до t3 и затем от до t,.
91
Операторы Я' в этом выражении расположены в хронологическом порядке (тх >
