Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 6
уничтожения х. Наконец, линия, отвечающая рождению дырки (оператор ip
(*);+)), имея то же направление, должна кончаться в точке рождения х. Так
решается задача о получении взаимно однозначного соответствия между
элементом S-матрицы и диаграммой.
Направление виртуальной линии диаграммы выбирается в соответствии с
правилами, сформулированными в разделе 10. 3. Эти правила приводят к
единому направлению звеньев сплошной линии; иными словами, никакая пара
соседних звеньев не может иметь встречных направлений *. Если мы имеем
дело с незамкнутой сплошной линией, то это единое направление
определяется направлениями свободных концов, т. е. типом процесса. Если
же сплошная линия замкнута, то возможны два противоположных
* В соответствии с законом сохранения разности числа частиц и дырок
уничтожение частицы в узле обязательно сопровождается рождением частицы
или уничтожением дырки в том же узле. И в том и в другом случае
направление вдоль сплошной линии остается единым (рис. 6).
112
направления ее обхода. Оказывается, что во всех случаях элементы S-
матрицы содержат пары членов, отвечающих диаграммам с двумя
противоположными направлениями обхода замкнутых петель. Таким образом, и
в этом случае никакой неоднозначности в применении обсуждаемых правил не
возникает.
Говоря о виртуальных линиях диаграммы, необходимо заметить, что ввиду
интегрирования по координатам и времени каждого узла соотношение между
временами, входящими в функцию распространения, может быть произвольным.
Соответственно может быть различной и ориентация виртуальной линии
относительно оси времени * (рис. 7). Принято, однако, изображать на
графике наиболее простую, неизломанную конфигурацию линий. Последующее
интегрирование по координатам и времени приведет к автоматическому учету
всех возможностей такого рода (подробнее t t
см. §12). ^-?-"_
t2 ? t,
Рис. 7
В заключение отметим, что линию взаимодействия, концы которой отвечают
равным временам, естественно направлять перпендикулярно оси времени. В
следующем параграфе мы подробно рассмотрим примеры, иллюстрирующие
изложенные правила.
§ 12. ПРОЦЕССЫ НИЗШЕГО ПОРЯДКА
12. 1. Переходим к систематическому изучению элементов S-матрицы
низшего порядка. Будем пока для простоты считать, что V является не
оператором, а с-числом.
Начнем с процессов первого порядка по Н' (п = 1). Согласно выражению (9.
15):
Sl =-- lT f d ld.2 ехр (- 6|7Х |) V (1,2) ти |
J (12. 1) т1 = ГАА[-ф+(1)Ф+(2)Ф(2)ф(1)]. .1
Здесь символ d 1 означает dixl = dq^t^ Согласно второй теореме Вика, это
Г-произведение можно заменить N-произведением соответствующих операторов
поля. Разлагая последнее на сумму членов, каждый из которых является
произведением операторов
* Изображенный на рис. 7, а процесс содержит виртуальную частицу, на рис.
7,6 - виртуальную дырку (в точке хг рождается пара, частица уходит в
будущее, дырка аннигилирует с первоначальной частицей).
113
рождения и уничтожения, приходим к совокупности 24 = 16 членов.
Соответствующие диаграммы удобно разделить на следующие три класса.
1. Процессы рассеяния, отвечающие двум операторам рождения и двум
уничтожения:
а) Ц>+ (1)(+) Ч>+ (2)<+> Ч> (2)(-) Ц (1)(-ь
б) Ч5 (1)(+) Ч5 (2)(+) Ч>+ (2)(-, Ч>+ (1
в) - i|>+ (1)(+) Ч> (2)(+) Ч>+ (2)(-) Ч> (1)(-
г) - яр+ (2)(+) ip (1)(+> ф+ (1)(-> Ч> (2)<_);
Д) Ч>+ 0)(+) ^ (!)(+) Ч>+ (2)(-) Ч> (2)(-j;
е) 4>f (2)<+, Ч> (2)<+) Ф+ (1)<-) Ч> (1)(-)-
Диаграмма на рис. 8, а описывает процесс рассеяния частицы на частице, на
рис. 8, б - дырки на дырки. Четыре следующих
а 6 6 г
С
I I
Рис. 8
диаграммы (см. рис. 8, в - е) отвечают рассеянию частицы на дырке. При
этом диаграммы на рис. 8, в, е отвечают простому рассеянию, когда частица
и дырка, уничтожаясь в соответствующем узле, "возрождаются" каждая в том
же узле. Оба элемента 5-матрицы, соответствующие этим диаграммам,
очевидно, одинаковы, так как отличаются лишь заменой переменных
интегрирования. Диаграммы на рис. 8, д, е отвечают так называемому анни-
гиляционному рассеянию частицы на дырке: рассеиваемая пара сначала
аннигилирует в одном узле, потом "возрождается" в другом. Обе эти
диаграммы также вносят одинаковый вклад.
К
U Р
114
2. Процессы с участием одной пары, отвечающие трем операторам рождения и
одному поглощения (и наоборот). Таких диаграмм восемь; мы рассмотрим
типичные (рис. 9):
а) Ч>+ (1)(+) Ч>+ (2)(+) Чз (2)(+) (1)(_);
б) 4>+ (!)<+) 4>+ (2)(-> Чз (2)(_) Чз (1)(-).
Диаграмма на рис. 9, а отвечает рождению пары частицей, т. е. возбуждению
системы за счет взаимодействия с этой частицей; на рис. 9, б
соответствует аннигиляции пары за счет взаимодействия с частицей.
Остальные 6 диаграмм этого класса описывают ана-логичные процессы с
участием дырки, а также включают в себя дублирующие диаграммы с заменой 1
Д*~ 2.
3. Процессы с рождением или аннигиляцией двух пар (четыре оператора
рождения или уничтожения);
а) (!)<+) М>+ (2)(+) Ч> (2)(-4-) "Ч? (!)(+"; а 0
б) 4з+ (1)<-> Чз+ (2)<-> Чз (2)(_, Чз (1)(-)- Рис. 9
