Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
ф (1)ф+ (2) = -ФМ2) ф (1) = Ш0 (1, 2). (11. 3)'
Свертки остальных пар операторов равны нулю.
С самого начала под знаком Т-произведения могут стоять нормальные
произведения.
2. Для таких смешанных Г-произведений предыдущая теорема остается в
силе; однако нужно опустить свертки тех операторов, которые с самого
начала стояли под знаком одного и того же ./V-произведения.
В частности,
Т [N [ф+ (1) ф (2)] N [ф+ (3) ф (4)]} =
- N [ф+ (1) ф (2) ф+ (3) ф (4)] - /G0 (4, 1) TV [ф (2) ф+ (3)] +
+ iG0 (2, 3) N [ф+ (1) ф (4)] + G0 (4, 1)G0(2, 3).
11. 3. Перейдем к доказательству теорем Вика, используя метод индукции.
Первая теорема справедлива для двух операторов. Предположим, что она
имеет силу для произведения п операторов, и рассмотрим Т (Рг . . .
FnFn+1). Без ограничения общности можно считать, что время оператора Fn+1
предшествует времени остальных операторов**, что позволяет переписать
интересующую нас величину в виде Т (/*\ . . . Fn) Fn+1.
Применяя к Т (Рг . . . Fn) теорему Вика, можно привести Т (Рх . . .
Fn)Fn+1 к сумме членов, каждый из которых содержит произведение
операторов типа N (. . . ) Fn+1. Рассмотрим характерный член такого типа
N (Рг . . . Fk)Fn+1 (k < ri) и покажем, что имеет место равенство
N(F, ... F^Fn^-NiFy ... FkFn,i) = S, (П-4)
где
s = Ffn+1N (F, ... F^) - fCh+iW (Рг ...
¦ ¦ ¦ Fk-^Fk) -f • • • + (- (F2 . . . Fk).
Это утверждение равносильно теореме Вика для Т (FiF2 ¦ ¦ ¦ Fn+1).
* Здесь и ниже цифровой аргумент заменяет собой соответствующую
пространственно-временную точку: (1) = лтц, (2) = х2 и т. д.
** В § 9 уже упоминалось о возможности перестановки операторов под знаком
Т-произведения с соответствующим изменением знака. Поэтому должной
перестановкой и переобозначением операторов всегда можно привести Г-
произведение к виду, используемому в тексте.
108
Для доказательства разобьем Fn+1 на рождающую и уничтожающую части и
представим левую часть выражения (11. 4) в виде
лад ... /ад+1(+)--(-1)*У(ад(ад ... Fk). (11.5)
Уничтожающая часть оператора Fn+l, как легко видеть из определения У-
произведения, вообще выпадает из выражения (11. 5). Будем теперь
переставлять направо оператор Fn+1 во втором члене выражения (11. 5) для
того, чтобы привести его к виду первого члена. При этом нужно учитывать
правила перестановки
{Fn+i (+>, F(i)} = {Fn+i (+), Fi (_)} FlFn+1,
вытекающие из выражений (10. 2), (10. 4) и условия tn+1<i tt.
Производя перестановку нужное число раз, можно добиться компенсации
первого члена выражения (11. 5); оставшиеся члены оказываются в точности
равными 2. Этим и исчерпывается доказательство первой теоремы Вика.
Для иллюстрации рассмотрим Г-произведение трех операторов Г (F1F2)F3,
которое разбивается на сумму членов:
у (ад) г, + адг3 = у (ад) f3 + аду (гь).
Имеем
N (ад) F3 - N (ад2г3) = У (ад> Гз (+) - У (г3 <+)ад).
Последний член правой части можно представить в виде
- аду (г2) + аду (Л) - у (ад) г3 (+).
Таким образом, окончательно можно написать
г (Г) ад) = аду (/¦) - аду (г2) + аду (г,) - у (ад2г3),
что, очевидно, находится в полном соответствии с выражением (11. 2).
Вторая теорема справедлива для Г-произведений типа Г [У (Рг) F2 ... Fn],
Будем считать ее имеющей силу для произведений Г [У (Г\ . . . Fk)Fk+1 . .
. Fn] и рассмотрим величину Г [У (Г\ . . . Fk+1)Fk + 2 . . . FJ. Применяя
первую теорему Вика к входящему сюда У-произведению, т. е. записывая его
в виде Г (Г\ . . . Fk+1) - 2', представим эту величину в виде
Г [Г (Л ... Fk+l) Fk+2 ... F"]-T (?'ад ... Fn), (11.6)
где 2' - сумма всевозможных произведений сверток операторов Fx . . . Fk +
1 на соответствующие У-произведения, причем число сомножителей в
последних не превышает k. По этой причине ко второму члену выражения (11.
6) можно применить доказываемую теорему, что позволит выразить его в виде
суммы произведений всевозможных сверток операторов Fx. . . Fk+ г между
собой, сверток этих операторов с остальными операторами и У-произведений
оставшихся операторов. Рассматриваемый член содержит всевозможные свертки
операторов Ft . . . Fk+1, причем
109
каждое его слагаемое включает по крайней мере одну такую свертку.
Что касается первого члена выражения (11. 6), то символ Г внутри Г-
произведения можно опустить *, и по первой теореме Вика придем к
совокупности членов, содержащих всевозможные свертки всех без исключения
операторов. Второй член выражения (11. 6) скомпенсирует те члены этой
совокупности, которые содержат хотя бы одну свертку операторов . . . Fk+1
друг с другом. Таким образом, из рассматриваемого выражения действительно
выпадают свертки операторов, стоящих под знаком jV-произведения.
Рассмотрим в качестве иллюстрации Г-произведение Г [yV (/чГ^ГзТ Запишем
его в виде
и применим к первому члену теорему Вика. При этом член со сверткой F1Fi
полностью выпадает из результата.
11. 4. Применяя теорему Вика к разложению S-матрицы по Г-произведениям
**, можно представить последнюю в виде суммы членов, каждый из которых
