Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
дырки в точке х).
В искомое выражение будет входить нормальное произведение
* Речь идет о существенно различных диаграммах, не переводимых друг в
друга заменой обозначений, непрерывной деформацией графика и т. п. Так,
диаграммы ад"- "г" рис. 13 являются топологически различными, а ад" и "3"
- одинаковыми. Топологически совпадают также диаграммы "в" и "г", "3" и
"е" рис. 8, а также ад" и "в" рис. 18.
^(Ф(±>"Ф(±)"Ф<±)*Ф(±)6 • • - ),
123
где одинаковыми индексами "а", "Ь" и т. д. обозначены операторы,
относящиеся к одной и той же сплошной линии.
4. Каждой виртуальной линии диаграммы, идущей от точки х к точке х',
поставить в соответствие свертку iG0 (х', х) *.
5. Каждой линии взаимодействия, соединяющей точки х и х , поставить в
соответствие оператор V (х, х'), действующий на входящие в
рассматриваемое выражение величины
ФМ, ФОО> G0(x, Xi), G0(У, Xi).
6. Каждому узлу взаимодействия х поставить в соответствие интеграцию J
d4x - j dq dt.
В релятивистской теории поля сюда прибавлялось еще одно правило (теорема
Фарри): диаграммы с замкнутыми петлями, содержащими нечетное число
звеньев, учитывать не нужно. В данном случае, однако, эта теорема не
имеет места ввиду отсутствия свойства зарядовой симметрии, на котором
основан ее вывод (см. § 9).
Сформулированные правила весьма удобны при построении выражения для
элемента S-матрицы любого порядка.
13. 3. Приведенные правила Фейнмана относятся к координатному
представлению. Рассмотрим теперь соответствующие правила в энергетическом
представлении.
1. Остается в силе. Необходимо только расставить на диаграмме индексы
состояния и энергии свободных концов v, ev и виртуальных линий р, е.
Направление линий свободных концов выбирается в соответствии с типом
процесса (поглощение или испускание) и типом объекта (частица или дырка).
Направление виртуальной линии должно обеспечивать единое направление
вдоль сплошной линии.
2. Остается в силе.
3. Остается в силе, но операторы поля заменяются соответствующими
операторами рождения или уничтожения, причем оператор частицы берется при
ev > eF, дырки - при ev < eF.
4. Каждой виртуальной линии, имеющей индексы р и е, ставится в
соответствие
2я 2я [е - ед + (б sign (ед - 8f)]
По р производится суммирование, по е - интегрирование.
5. Каждой линии взаимодействия, к которой подходят линии с индексами
состояния "а" и "6" и от которой отходят линии с индексами состояния "с"
и "Ф>, ставится в соответствие матричный элемент
< ab | V | cd ) = J dqdq'%*c (q) %*d (q')\tb (q') la(q).
* Порядок следования аргументов функций G0 противоположен направлению
виртуальной линии.
124
При этом индексы "а", "с" и "6", "d" отвечают попарно одной и той же
сплошной линии. Кроме того, каждой линии взаимодействия ставится в
соответствие
2я6 (еа + Ч - ес - га).
13. 4. Особо следует остановиться на случае пространственнооднородной
системы, для которой индексы р и v сводятся к им-
пульсу р и дискретным индексам, обозначаемым через р. Энергия зависит
только от импульса.
Правило 4 предыдущего раздела может быть переформулировано следующим
образом: каждой виртуальной линии отвечает
t 2 J ^ Р е - е-> _|_ sign (е-> - &р)
о р р
Здесь мы перешли от суммирования по импульсам к интегрированию, а это
привело к появлению лишнего фактора (2я)~3.
Волновые функции %v имеют в рассматриваемом случае вид плоских волн.
Подстановка их в матричный элемент V дает
( об | V | cd) = (2я)3 б (ра + рь - рс - pd) х
-4 -4
х ( QaQ* I "V (Рс - Pa) I QeQrf >-
-4
Здесь v (p) - фурье-образ потенциала (см. § 4); матричный элемент берется
по дискретным индексам. Таким образом, общий вклад линии взаимодействия в
выражении для матричного элемента дается выражением
-4 ->
(2я)4б4 (ра + pb - рс - pd) ( QapJ V (рс - ра) | QcQd ),
где
Ь*(р) = 6(р)6(г).
В остальном сформулированные в предыдущем разделе правила остаются без
изменений.
Выполнение законов сохранения энергии и импульса в каждом узле диаграммы
позволяет перейти к более удобной форме изображения диаграммы,
использующей эти законы в явном виде. С этой целью следует ввести идущий
вдоль линии взаимодействия пере-
даваемый импульс k = рс - ра (передаваемая энергия равна нулю, так как
запаздывание не учитывается и v не зависит от энергии). При этом законы
сохранения выполняются в каждом узле диаграммы (рис. 19).
Нередко, особенно при проведении общего анализа, нет необходимости
раздельно рассматривать элементы 5-матрицы, отвечающие соответственно
поглощению частицы и испусканию дырки
125
(испусканию частицы и поглощению дырки). Выражение для элемента S-
матрицы, объединяющего все возможности такого рода, получается по
правилам Фейнмана с единственным отличием, касающимся пункта 3 этих
правил: в выражение для элемента S-мат-рицы будет теперь входить ./V-
произведение N (ф^фафй'фб- • •)> где ф+, if - полные операторы поля.
Аналогично в энергетическом представлении будет фигурировать величина N
{A^,AV . . .) без ограничений на относительную величину ev, ец . . . и
