Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Диаграмма на рис. 10, а отвечает самовозбуждению системы, при котором
рождаются две пары; диаграмма на рис. 10, б - аннигиляции двух пар *.
'ГС
¦>*
Рис. 10
12. 2. S-матрица во втором порядке теории возмущений имеет вид:
S2 = 5" I dI d2 d3 cLA exp [- 6 (111 | + 1121)] X
X V (1,2) 1/(3, 4) t2,
= Т{ЛГ[Ч>+(1)Ч>+(2)Ч>(2)Ч>(1)] X X ЛЛ [Чз+ (3) Чз+ (4) 45 (4) Ч> (3)]} -
(12. 2)
* Если бы в качестве гамильтониана возмущения мы выбрали не выражение 1),
а полный гамильтониан взаимодействия Hi, то нам пришлось бы рассматривать
еще диаграммы, типа изображенных на рис. 10, в. То же замечание относится
и к диаграммам высшего порядка.
115
Применяя теоремы Вика к этому Г-произведению, получим сумму членов,
содержащих различное число сверток (от 0 до 4). Общее число элементов
матрицы S2 достигает большой величины. Рассмотрим лишь наиболее типичные.
1. Диаграммы без сверток. Им отвечает член т2 = N [ф+ (1) X X ф (1) ф+
(2) ф (2) ф+ (3) ф (3) ф+ (4) ф (4) 1, включающий 28 = = 256 элементов.
Эти диаграммы описывают два независимых процесса первого порядка (рис.
11).
2. Диаграммы с одной сверткой. Эту свертку можно выбрать восемью
способами. С помощью замен переменных 1 ДЦД 2, ЗДМ и одновременной замены
1ДГЗ, 2дМ убеждаемся, что все эти восемь слагаемых дают одинаковый вклад
в S2. Соответствующая часть Г-произведения приводится тем самым к виду
т2 - 8iG0 (3, 1)^[ф+(3)ф(1)ф+(2)ф(2)ф+(4)ф(4)]. (12. 3)
V' < V v
II ||
> д--ч,
Рис. 11 Рис. 12
Это .V-произведение разбивается на 2е = 64 отдельных члена.. Типичный из
них отвечает рассеянию трех частиц друг на друге
(рис. 12). Кроме того, сюда входит рождение пары при рассеянии
двух частиц, рождение двух пар частицей и т. д.
3. Диаграммы с двумя свертками. Учитывая всевозможные свертки и
применяя указанную выше замену переменных, найдем
т2 = 4iG0 (3, 1) iG0 (4, 2) N [ф+ (3) ip (1) ф+ (4) ip (2)) +
-f 8iG0 (2, 3) iG0 (3, 1) N [ф+ (2) ф (1) ф+ (4) ф (4)1 +
+ 4iG0 (2, 4) iG0 (3, 1) N [ф+ (2) ij? (4) ф+ (3) ij? (1)] -
- 4iG0 (2, 3) iG0 (3, 2) N [ф+ (1) ф (1) ф+ (4) ф (4)]. (12. 4)
Наряду с другими процессами сюда включены процессы рассеяния частицы на
частице во втором порядке теории возмущений. Рассмотрим их подробнее
(рис. 13).
Первое слагаемое выражения (12. 4) отвечает прямому рассеянию. Обе
рассеиваемые частицы либо сначала поглощаются, затем испускаются (при tx
< t3, рис. 13, а), либо сначала испускаются, потом поглощаются (при t3 <
/х, см. рис. 13, д). Согласно принятому выше условию, на графике
изображается лишь простейшая ситуация, т. е. диаграмма рис. 13, д
отбрасывается.
Процессы, отвечающие второму и третьему слагаемым выражения (12. 4) (см.
рис. 13, б ив), интерпретируются более сложным 116
образом. В момент tt = t2 рождается пара, причем частица уходит в
качестве конечного продукта реакции, а дырка аннигилирует с одной из
первоначальных частиц. Другая начальная частица испытывает простое
рассеяние. Наконец, последний член выра-
Ргс. 13
(12. 5)
жения (12. 4) описывает процесс, подобный процессу рассеяния первого
порядка, но содержит одну виртуальную пару (см. рис. 13, г).
4. Диаграммы с тремя свертками. Несложные вычисления дают
т2 = - 8iG0 (2, 4) iG, (4, 2) iG0 (3, 1) N [i|>+ (3) (1)] f-
+ 8iG, (2, 3) iG, (3, 1) iGо (4, 2) N [i|5+ (4) q (1) ].
Соответствующие диаграммы изображены на рис. 14.
Отвечающие им процессы состоят в том, что частица (или дырка)
распространяется, взаимодействуя с частицами системы. Именно, она
возбуждает систему, рождая пару, которая затем аннигилирует, после чего
остается опять одна частица.
5. Диаграмма с четырьмя свертками:
т2 = 2iG0 (1, 3) iG, (3, 1) iG, (2, 4) iG, (4, 2) ¦
- 2iG0 (1, 3) iG, (2, 4) iG, (4, 1) iG, (3, 2). (12. 6)
117
Диаграммы, отвечающие этим выражениям, изображены на рис. 15. Это так
называемые вакуумные переходы: рождаются две пары, которые затем
аннигилируют.
12. 3. Построенные выше выражения для элементов S-матрицы были записаны
в координатном представлении: участвующие в соответствующем процессе
частицы уничтожались и затем рождались в определенных пространственно-
временных точках 1, 2, 3, 4. Эта форма S-матрицы удобна для рассмотрений
общего характера; однако для практических приложений целесообразнее
перейти к энергетическому представлению, отвечающему такому описанию
процесса, при котором частицы находятся в состояниях с определенной
энергией [их волновая функция равна %v(y)].
Для этого используем выражения для операторов поля и функ-
Кроме того, нам понадобится выражение для матричного элемента потенциала
взаимодействия (см. раздел 3. 7):
(сЛ| K|vp) = §dqdq'%l {q) X^iq') V{q, q') Xk{q') %a (?)• (12. 8)
Подставим эти выражения в элемент S-матрицы St. Интегрирование по tx, 12
дает с учетом V (1, 2) = Vb (t1 - t2) функцию 2я6 (eVl + eV! - eV3 -
eV4), обеспечивающую сохранение энергии в рассматриваемом процессе.
Интегрирование по пространственным координатам приводит к матричному
элементу (12. 8). В результате получаем
