Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
содержит определенное ./V-произведение операторов поля ф и ф+. Каждый из
этих операторов в свою очередь является суммой соответствующих операторов
рождения и уничтожения. Учитывая это, можно представить S-матрицу в виде
суммы членов, содержащих yV-произведение операторов рождения и
уничтожения ф<+), ф<±). Этим членам, которые были названы выше элементами
S-матрицы, удобно поставить в соответствие определенным образом
построенные диаграммы (графики), описывающие соответствующий процесс
перехода.
Сформулируем общие правила построения диаграммы. Элемент S-матрицы
содержит следующие структурные части: операторы поля, отнесенные к
соответствующим пространственно-временным точкам ***, свертки (или
свободные функции Грина) и потенциалы
* Внутренний символ Т излишний, так как и без того произведение
операторов будет расположено в хронологическом порядке.
** В S-матрицу входят Т-произведения не операторов поля, а гамильтонианов
взаимодействия Нв, содержащих произведение операторов поля, отнесенных к
одному моменту времени. Применение теорем Вика к такому Г-произведению не
приводит в общем случае к определенному результату, так как свертка
входящих в Нв операторов неоднозначна при совпадающих временах. В
рассматриваемой схеме, однако,- нет никаких трудностей, поскольку, с
одной стороны, выбор Н' в виде (8. 1) позволяет записать Нв в виде
нормального произведения операторов [см. выражение (9. 5)]; с другой
стороны, согласно второй теореме Вика, свертывать операторы внутри JV-
произведения не следует. Это дополнительный аргумент в пользу выбора
приближения Хартри - Фока в качестве нулевого приближения теории.
*** Эти операторы называются операторами свободных концов диаграммы.
110
взаимодействия. Этим величинам ставятся в соответствие графические образы
(рис. 4).
Каждый пространственно-временной аргумент хг, входящий в операторы поля,
свертки и потенциалы, изображается на графике точкой (узлом). Каждому
оператору поля ф(±) (х,-), ф(+) (xj) ставится в соответствие сплошная
линия (линия свободного конца), упирающаяся одним концом в точку хг и
другим уходящая в бесконечность. Каждой свертке iG0 (xh xj) соответствует
сплошная линия (виртуальная линия), соединяющая точки хг и Xj. Наконец,
каждому потенциалу взаимодействия V (xh xj) ставится в соответствие
пунктирная линия (линия взаимодействия), соединяющая
ТОЧКИ Х( И Xj.
Д_________________________ ^ li_________Ч,
;) lS0(XL,Xj)
Рис. 4
Сделаем несколько общих замечаний, касающихся структуры диаграммы. То,
что полное число частиц системы в процессе взаимодействия не меняется и,
следовательно, остается неизменной разность между числом частиц и дырок,
обусловливает отсутствие концов у сплошных линий диаграммы. Эти линии
либо уходят в бесконечность, либо образуют замкнутые петли. Обрыв
сплошной линии в каком-либо узле означал бы рождение или уничтожение
частицы (дырки) в этом узле, что противоречило бы упомянутому выше закону
сохранения.
Рассматривая п-й член разложения S-матрицы в ряд теории возмущений,
нетрудно видеть, что число узлов в соответствующих диаграммах равно 2п, а
число линий взаимодействия - п. Число линий свободных концов F
(обязательно четное), как и число виртуальных линий V, может быть
различным для разных процессов. Однако между F, V и п имеется простая
связь:
2V + F = 4 п.
11. 5. В сформулированных выше правилах четырем различным операторам
свободных концов ф(±) (х) и ф(±) (х) был поставлен в соответствие один
графический образ - линия, соединяющая точку х с бесконечно удаленной
точкой. Для получения взаимно однозначного соответствия между процессом
перехода и диаграммой эти правила необходимо дополнить, что достигается
введением понятия направления и ориентации сплошной линии графика.
Как было принято в разделе 10. 3, распространение частицы изображается
линией, направленной от точки рождения частицы к точке ее уничтожения;
это направление совпадает с направлением оси времени. Распространение
дырки следует изображать линией,
111
направленной от точки уничтожения дырки к точке ее рождения, что приводит
к направлению, противоположному оси времени.
Выберем раз и навсегда направление оси времени слева направо и впредь на
диаграмме изображать ее не будем. Направление звеньев сплошной линии
будем обозначать стрелками. Распространяя изложенные в предыдущем абзаце
правила на линии свободных концов, можно на диаграмме видеть, с частицей
или дыркой мы имеем дело и о рождении или уничтожении идет речь (рис. 5).
* х__________ _____________х х ________
?W,_,
Рис. 5
Линия свободного конца, отвечающая уничтожению частицы (оператор ip (*)(-
)), должна иметь направление, общее с осью времени, и должна кончаться в
точке уничтожения х. Линия, отвечающая рождению частицы (оператор ip+
(х)(+>), имея то же направление, должна начинаться в точке рождения х.
Линия, отвечающая уничтожению дырки (оператор ip + (x)(_)), должна иметь
направление, противоположное оси времени, и начинаться в точке
