Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Полученное соотношение дает свободную функцию Грина в приближении Хартри
- Фока; как и в случае матрицы плотности, его простота является
иллюзорной ввиду некоммутации входящих в знаменатель операторов.
Если выполнены условия применимости приближения Томаса- Ферми, то этой
некоммутацией можно пренебречь. Переходя
к фурье-образу по разности хх - х2, найдем
GoUi, Р> е = р Т'Т* / \-----т (10.10)
! е - е_>, (х{) -j- гб sign Ге_> (хх) - е/Л v '
Р L Р \
Здесь хх играет роль параметра, от которого слабо зависит функция G0.
Если одновременно можно пренебречь и обменными эффектами, то полученные
соотношения еще упростятся. Вводя граничный импульс р\ (лг), связанный с
е > (х) соотношением
Р2 ~ Ро (X)
ер W " Ш г *F'
находим
" dsp ехр 1 р(хл - х2)I б" " _
G0(<7i, ?,.") = V2- V7 л" - '-2 12-------------.(Ю.11)
• Ef-
Р2 -Po(^l)] . ... Г 2 2, л'
2УЙ + гб SI§n IР - Ро(х^\
В том же приближении в подынтегральном выражении (10. 11) можно сделать
замену р2 (хх) р2 (х2):
*. "> - \ - ¦ <ю- >2>
8 - ~ 2/И 2 гЙ sign [р*~ро
103
В самом деле, эффективное значение разности хх - х2 - \/р - 1/ро- При
выполнении условия квазиклассичности
Выражениями (10. 11) и (10. 12) удобно пользоваться для расчета
корреляционных эффектов в слабонеоднородных системах. Однако, как будет
показано в § 15, приведенные выражения можно использовать для
корреляционных расчетов при выполнении не только обычного условия
квазиклассичности, но и еще одного условия, в ряде случаев более
жесткого.
10. 3. Исследуем физический смысл свертки операторов.
Запишем выражение для функции Грина в виде
Рассмотрим сначала верхнюю строчку. Оператор ф+ (х2), действуя на Тд,
приводит к рождению частицы в точке q2 в момент t2 (уничтожающая часть
этого оператора не дает вклада). В последующий момент t1 эта частица
уничтожается в точке qlt и система возвращается в исходное состояние. Во
второй строчке в момент tx в точке qx рождается дырка, которая затем (в
момент 12) уничтожается в точке q2.
Таким образом, можно сказать, что функция Грина описывает процессы
распространения: частицы из точки х2 в хх и дырки, в обратном
направлении. Поэтому функцию Грина нередко называют функцией
распространения. Это распространение носит причинный характер: рождение
всегда предшествует уничтожению. Если бы вместо Г-произведения стояло
обычное произведение операторов, это важнейшее свойство оказалось бы
утраченным.
Нетрудно видеть, что функция Грина равна с точностью до множителя
матричному элементу перехода, отвечающего распространению в указанном
выше смысле. Действительно, волновая функция системы с частицей в точке
q2 в момент t2 равна, очевидно, ? (х2) = ф+ (х2)У0. Матричный элемент
перехода
и есть, очевидно, функция Грина.
Распространение удобно изображать графически. Соответствующие правила
входят составной частью в диаграммную технику, которая будет подробно
излагаться ниже. Пространственно-временную точку х будем изображать
точкой на графике (рис. 3, а), где по горизонтали слева направо проведена
ось времени. Распространение частицы, описываемое G0, будем изображать
направленной линией, соединяющей точки х2 и х1 (t2 <С tt). Аналогично
распространение дырки описывается линией, идущей от хх к х2 (t2 > 1Х).
Обе эти линии имеют общее направление
Ро (х2) - pi (Хх) ~ I Хх -¦ х21 Vp2, (хх) ~ Ipl (хх)< pi (Xj).
. J( ^0 I Ф (*i) Ф+ C*s) I Ф'о > tx > h,
I- ( 4% I Ф+ (*a) Ф (*i) I Yo ) t x < t2.
(?* (xx)Y(x2)) 1x> t
104
с осью времени, что соответствует причинному характеру распространения.
Большим неудобством такого изображения функции распространения является
зависимость направления линии (от х2 к хх или наоборот) от соотношения
между временами точек хх и х2. Это неудобство легко преодолеть, принимая
условно, что дырка распространяется от точки своего уничтожения к точке
рождения, и направляя соответственно линию дырки (рис. 3, б) от точки х2
к Ху. Тем самым достигается выбор единого направления линии функции
распространения для обоих случаев t2<.tx и t2~> t х
------------------------------------ t
Рис. 3
совпадающего с направлением распространения частицы. Хотя при этом
направление распространения дырки оказывается противоположным направлению
оси времени, ни о каком противоречии с принципом причинности говорить,
разумеется, нельзя, так как принятое условие имеет чисто формальный
смысл. Это условие, как будет видно из дальнейшего, обеспечивает
компактность графического аппарата теории.
10. 4. В заключение отметим, что широко применявшиеся в предыдущем
разделе термины "рождение в точке", "уничтожение в точке",
"распространение от точки к точке" не следует понимать слишком буквально.
Оператор ф+ (<70), действуя на вакуумную функцию ?вак, действительно дает
состояние, отвечающее локализованной в точке q0 частице. Этого, однако,
нельзя сказать об операторе, действующем на ц - волновую функцию системы.
Повторяя рассуждения, приведенные в разделе 3. 4, но используя выражение
