Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
- частица и дырка (последняя отвечает освободившемуся уровню).
Возвращение возбужденной системы в основное состояние отвечает взаимному
уничтожению (аннигиляции) частицы и дырки. Эти процессы аналогичны
процессам рождения и аннигиляции частицы и античастицы в квантовой теории
поля. Подобного рода интерпретация, заимствованная из релятивистской
квантовой теории поля, оказывается весьма плодотворной и удобной.
Однако эта аналогия не полная. В релятивистской теории поля имеется
полная симметрия между частицами и дырками, отвечающая вырождению уровней
энергии частиц по ее знаку. Эта симметрия (ее называют зарядовой) имеет
целый ряд следствий, к числу которых относится, например, теорема Фарри
(см. § 13).
В теории многих частиц между частицами и дырками нет симметрии. Это можно
видеть хотя бы из того, что области спектра, отвечающие частицам и
дыркам, существенным образом различаются: одна из них простирается до
бесконечных значений энергий (зо > ev >> ef), другая ограничена низшими
уровнями (О <С ev <С eF). Указанная симметрия обнаруживается лишь в
отдельных случаях, когда определяющую роль играют частицы и дырки,
расположенные в непосредственной близости от границы Ферми.
8. 5. Переход к дырочному формализму приводит к тому, что операторы
поля разбиваются на сумму рождающей и уничтожающей частей, каждая из
которых содержит только операторы рождения и уничтожения (см. раздел 8.
3):
Ф (Ф = Ф (<7)<+> + Ф (<7)<->.
ф+(<7) = ф+ (q){+) + -ф+ (?)(_,.
86
Здесь индексы (+) и (-) относятся соответственно к рождающей и
уничтожающей частям. Отметим, что при сопряжении (+) ^ (-), в частности
i|>+ (<7)(+> =' [i|) (?)(-) ]+.
Исходя из правил коммутации (8. 5), видно, что единственные отличные от
нуля антикоммутаторы операторов г|з(±) и ip+( имеют следующий вид:
{Ф (<7)<+>. Ф+(<7')(->} = 2nv^Cv (</') (я), |
{ф (?)<->. Ф+(<7')<+)} = 2(l~_nv)5Cv(<?')xv(<7)-J (8'8)
Здесь использовано соотношение (l -VnvY - I -nv> вытекающее из равенства
nv = 0,1. Верхний антикоммутатор совпадает просто с матрицей плотности R
(q, q') [см. выражение (4. 7)], нижний в силу условия полноты равен 6 {q
- q') - R (q, q').
Введем важное понятие нормального произведения (А-произ-ведения)
операторов поля. Чтобы перейти от обычного произведения операторов к
нормальному, необходимо разбить каждый из операторов на сумму рождающей
и уничтожающей частей
и переставить эти части таким образом, чтобы все операторы
рождения стояли слева от операторов уничтожения. При этом каждая
перестановка местами пары стоящих рядом операторов должна сопровождаться
изменением знака.
Приведем простейшие примеры А-произведений:
А(1) = 1, N [Ч>(_,Ч>^)] = Ф(-)Ф<^)>
N (г|з) = ф, N [1|>(+) i|>(-y = Ф(+)Ф+,,
N (i|>+) = i|)+, N [4>{_,4)(+J = -'Ф^М-г
Рассмотрим более сложный пример:
N [i|>+ (q) i|> (q')] = i|>+ {q)(+) i|> (q'){+) + -ф+ (<7)(+)-ф (<7')(-)
+
+ Ф+ (<7)<->Ф (<7)(-) - Ф (<7')<+)Ф+ (<7)(-)•
Это выражение лишь своим последним членом отличается от простого
произведения операторов, где этот член равен 'ф+(^)(_)'ф(9')(+). Поэтому
разность между простым и нормальным произведениями рассматриваемых
операторов сводится к соответствующему антикоммутатору. Используя
выражения (8. 8), получим
N [я|з+ (q') i|> (<7)] = я|з+ (q') ^(q) - R (q, q'). (8. 9)
Аналогичным, но более громоздким способом можно получить соответствующее
соотношение для произведения четырех операторов поля:
N [я|з+ (q) я|з+ {q') i|> {q') i|>.(<7)] = (q) i|>+ {q') i|> (q') i|>
(q) -
- R (q, я) Ф+ (я') Ф.(<7') - Rtf, q ) Ф+ (я) Ф (q) + + R (q, qf) Ф+ (q) Ф
W) + R (я', я) Ф+ (я') Ф (я) +
+ R(q,q)R{q',q') - R{q,q')R{q',q). (8.10)
87
Нормальные произведения операторов поля обладают двумя важными
свойствами. Прежде всего, под знаком нормального произведения можно
производить любую перестановку операторов, меняя при этом соответствующее
число раз общий знак произведения. В самом деле, если эта перестановка не
меняет относительного порядка операторов рождения и уничтожения, то
приведенное утверждение очевидно, поскольку при этом антикоммутатор
переставляемых операторов равен нулю. Пусть теперь перестановке
подвергаются операторы разного типа. Такая перестановка (при выполнении
условия о знаках) также не меняет результата, так как операторы в
конечном счете все равно располагаются в соответствии с определением А-
произведения.
Другое свойство всякого N-произведения [кроме N (1) = 1 ] состоит в том,
что его среднее по состоянию Yq равно нулю:
<Y0|A(...)faF0)=0. (8.11)
Это важное равенство является непосредственным следствием соотношений (8.
6).
8. 6. Введение понятия нормального произведения позволяет существенным
образом упростить выражения для гамильтонианов Но и Н'.
Используя соотношение (8. 9), запишем выражение (4. 1) в виде
#о= J dq(T+W)"4+(q')4{q) + C =
q'-+q
= $dq(T+W)q{N [i|>+ (q') i|> fa)] 4- R fa, 9')} + C.
Последние два члена этого выражения можно записать в виде [см. приложение
А и соотношение (4. 27) ]
