Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
иметь вполне определенный вид и, в частности, она не может быть равна
нулю.
В самом деле, подставляя р0 = const в соотношения (5. 4), (5. 7) и (5. 8)
и полагая U - 0, мы сталкиваемся с появлением
расходящихся интегралов по пространству | Это обстоятельство отражает
невоеможность равновесного существования однородной (и, следовательно,
безграничной в пространстве) системы одноименно заряженных частиц. Для
придания рассматриваемой задаче физического смысла необходимо добавить
однородный внешний , фон противоположного знака заряда, нейтрализующий
полный заряд системы. Потенциал
50
U (х) = -e2Q j dx'l | x - x' | (q - плотность числа частиц системы),
создаваемый этим фоном, сам бесконечен, но с его помощью полностью
устраняются расходимости в выражениях (5. 4) и (5. 8). При этом последнее
равенство превращается просто в соотношение между константами &р и р0:
А _ ~ а ш а\
2М я F' ' >
Что же касается соотношения (5. 4), то оно принимает вид
h + P\J-ln
р 2М я I 2 рр0
"2 "2
Р о
¦Ро
(5. 10)
Отсюда видно, что закон дисперсии частицы, т. е. зависимость между ее
энергией и импульсом, за счет взаимодействия меняется. Это изменение тем
меньше, чем больше импульс частицы, что соответствует уменьшению влияния
взаимодействия на движение быстрой частицы. В обратном случае малых
импульсов закон дисперсии также становится квадратичным. Однако истинная
масса частицы М заменяется при этом некоторой эффективной массой ^ jW. в
чем можно убедиться, разложив соотношение (5. 10) в ряд по р. Отмеченные
качественные особенности закона дисперсии носят общий характер.
Чтобы получить конечное выражение для энергии, необходимо добавить к
выражению (5. 7) не только энергию взаимодействия частиц с фоном, но и
энергию взаимодействия фона с самим собой. Это приводит к следующему
простому выражению:
Ра ?Ра
8 := 10я2М
Второй член этого выражения носит обменный характер *.
Совершенно очевидно, что необходимость добавления компенсирующего фона
(не обязательно однородного) к бесконечно протяженным системам с
кулоновским взаимодействием существует и в неоднородном случае.
Практически, если речь идет, например, об электронах твердого тела, роль
компенсирующего заряда играют ионы решетки (см. § 6).
Ограниченные в пространстве действием сил иной природы одноименно
заряженные системы могут находиться в равновесии
* Из приведенных в этом разделе соотношений видно,' что приближение
Хартри - Фока для однородных систем отвечает учету членов только нулевого
и первого порядков по параметру взаимодействия (аоР0)-1. В то же время
рассмотрение неоднородной системы, например атома, в этом приближении
приводит к величинам, учитывающим все степени указанного параметра. Дело
в том, что в последнем случае сложной функцией величины ФоРо)'1 является
волновая функция %v (q) индивидуального состояния частицы. В однородном
же случае ввиду наличия трансляционной симметрии в качестве функций %v
(q) могут быть выбраны, как и для идеального газа, плоские волны.
51
и при отсутствии компенсирующего заряда. Примером может служить атомное
ядро.
5. 4. Перейдем к рассмотрению неоднородных систем с куло-новским
взаимодействием, описываемых уравнением Томаса - Ферми (5. 8). Оценим
роль последнего (обменного) члена левой части этого уравнения. Его
отношение к первому имеет следующий порядок величины: е2М/р0 ~ (а0р0)-1,
т. е. совпадает с параметром взаимодействия (см. § 1).
Как будет показано ниже (см. раздел 5. 5), вклад по крайней мере того же
порядка величины вносят поправки к уравнению Томаса - Ферми, отражающие
неточность квазиклассического приближения (для краткости эти поправки
будут именоваться в дальнейшем квантовыми). Поэтому, не учитывая
последних, следует опустить и обменный член, что приводит к собственно
уравнению Томаса - Ферми *:
Ро (х) л , \ г2 Г dx' з , ,ч /к 1 о\
-- = Bf-U(x)~ Ро{х). (5.12)
J I х -• X \
Действуя на обе части этого уравнения оператором Лапласа, легко получить
уравнение Томаса - Ферми в дифференциальной форме:
Г) Q -'Т'
Аро (X) [q (х) - о (х)], (5. 13)
ао
где q (х) - плотность числа частиц системы (5. 5); о - Д(//4я - плотность
заряда источников внешнего поля (деленная на е).
5. 5. Оценим относительную роль обменных и квантовых поправок. Вклад
последних определяется параметром |2 (при разложении физических величин в
ряд по ? члены нечетного порядка тождественно исчезают [4]). Обменные и
квантовые поправки имеют одинаковый порядок величины в том наиболее
важном случае, когда область, непосредственно прилегающая к точечному
источнику внешнего поля (ядру), не играет определяющей роли. Сравнивая
порядки величин левой части и первого члена правой части выражения (5.
13), приходим к оценке
Дро - Ро/ xl - Pojcto,
откуда
(х0ро)~2 ~ (аоРоУ1- (5-14)
Здесь х0 - характерный параметр размерности длины, определяющий
расстояния, на которых происходит заметное изменение р0. Левая часть
выражения (5. 14), как ясно из соотноше-
