Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 24

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 127 >> Следующая

можно ожидать в звездах, называемых "белые карлики".
** В дальнейшем будем рассматривать области давлений, где движение
электронов можно считать нерелятивистским. Это приводит к ограничению Р
<С < Ю17 атм.
(6. 2)
N/Q.
60
Полную энергию системы удобно записать в виде
~2~
= j' dqq+(q)^q(q) w\,
E-Ek = (v\idq^+(q)U^(q) + ф+ (q) ф+ (q') ф (<?') t|)(q) ф \
Jami I x" - xn, I
dq dq'
(6. 3)
zv
2
Последний член в выражении для Е - Ek учитывает взаимодействие ядер друг
с другом (за вычетом их самодействия).
Перейдем в выражении (6. 3) к новым безразмерным перемен-
х J -> ->
ным х = Q ,3х. При этом из условия нормировки (х) =
1 / / "^ \ х /
= ?2 2t|)lx'J; оператор импульса р - -iVx - -/?2 "V*'-
Отсюда видно, что Ек является однородной функцией ?2 степени - 2/3, Е -¦
Ек - степени - Ч.л. Применяя теорему Эйлера
для однородных функций x-~~ - nfn (п- степень однородности), находим
окончательно
Р - -gQ- (2Ek + Е Еь) = -g-((§ -|- &к). (6. 4)
Это весьма удобное соотношение позволяет находить уравнение состояния
непосредственно из выражений для кинетической и полной энергии вещества.
6. 4. Как будет показано в гл. IV,. для описания сильносжатого
вещества с достаточной точностью применимо приближение Хартри - Фока.
Более того, оказывается, что выполнение условия (6. 1) гарантирует также
малость квантовых (а следовательно, и обменных) поправок. Чтобы убедиться
в этом, достаточно оценить параметр |2 [см. выражение (5. 14')].
Плотность электронов q при выполнении условия (6. 1) во всяком случае
превышает величину а~3 (см. раздел 6. 2), что и приводит к соотношению |2
-С 1. Важно в этой связи подчеркнуть, что область вблизи ядра, которая
требует специального рассмотрения, вносит вклад в уравнение состояния
лишь при самых высоких сжатиях. Оценке в этих условиях вклада квантовых
эффектов, который оказывается крайне незначительным, посвящен раздел 6.
7.
Таким образом, для вывода уравнения состояния сильносжатого вещества
можно использовать приближение Томаса -
61
Ферми. Подставляя в соотношение (6. 4) выражения (5. 6) и (5. 7)
(последнее без обменного члена), получим
п Ро Ze2 V4 е (х) е2 -Ту ZV VI' 1 /о с\
Р = 1шм-rh г ¦-г + -б-еД + -^ г-^Т> (6'5)
п I х хп\ п, Ш I ХП ХП1 \
где q и В даются соотношениями (5. 5) и (4. 30"). Чтобы определить Р,
необходимо решить уравнение Томаса - Ферми (5. 12) для (х) с
соответствующими граничными условиями.
6. 5. Особенно простое решение имеет уравнение (5. 12) в областях II и
III, т. ё. при выполнении условия Р "Z,0/'4. Как
а1 ¦
уже отмечалось выше, электроны при этом можно считать в основном
свободными, а распределение их плотности - практически однородным.
Будем искать решение уравнения (5. 12) в виде
pi (х) = (Зя2р)!/* + а (х),
где первый член описывает однородное распределение, а второй является
малой поправкой на неоднородность. Подстановка этого выражения в
уравнение (5. 12) дает
а (х) = 2Л4 [6ef - U (х) - В (х)], где В (х) = e2Q f , J* + г- и SeF = zF
- 2д|- . Из условия
v I X -• х' [
нормировки легко найти = U + В. Введем, далее, безразмерную переменную у=
(q/Z)'/3x, равную отношению х к среднему расстоянию между ядрами.
Окончательно имеем
pSM-W'-ji <6-6>
где
-> ______
dy' 1
Q (у) - |
у -У I n I у - Уп I
Второй член в скобке в выражении (6. 6) представляет собой поправку на
неоднородность и вносит вклад порядка ZV3/(a0Q1/a). Найдем уравнение
состояния вещества с той же точностью. Подстановка выражения (6. 6) в
первый член соотношения (6. 5) приводит просто к величине (5Л4)""1
(Зл2)2/з р6/з; поправки на неоднородность нет из-за условия нормировки.
Что же касается остальных членов Р, то их величина, как это будет видно
из результатов, уже находится на границе принятой точности. Поэтому
62
для их вычисления можно использовать соотношение р2 (х) = = (зя2е)2/% что
дает после перехода к переменным у
6Q
-7Ъ13-1
Z /3Q
dydy'
I I / 1 j I -> I 1 x J I ->
j
I ^' У I ^ I //л I I Ут I
Величина в квадратных скобках пропорциональна полному числу частиц и
будет обозначена через -
В результате получается следующее уравнение состояния:
Р = ~Ш (3jt2)2/3QVs - 0e2eV3Z2/s. (6.7)
Коэффициент 0 является безразмерной величиной порядка единицы; вычисление
его требует конкретного электростатического расчета решетки. По своему
физическому смыслу он близок к постоянной Маделунга ионной решетки [57].
6. 6. Возможность практического решения уравнения Томаса- Ферми в
области меньших давлений сильно ограничена сложной геометрией задачи, что
связано с наличием большого числа источников внешнего поля (ядер
решетки). Нередко поэтому используют упрощенную модель ячеек [49, 58] *.
В этой модели вещество разбивается на нейтральные сфери-чески-
симметричные ячейки, каждая из которых содержит одно ядро. На границе
ячейки ставится условие др'2 (х);дх = 0, обеспечивающее ее нейтральность.
В такой модели ячейки не оказывают друг на друга электростатических
воздействий, и задача сводится к рассмотрению одной изолированной ячейки.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed