Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Условием квазиклассичности движения частицы является, как известно,
неравенство
dX (х) dx
" 1 , (5. 1)
где к (х) - квазиклассическая длина волны де Бройля частицы. Эта величина
определяется следующим образом. Проведем в операторе Т + W формальную
замену оператора импульса некоторой функцией р (х) (квазиклассическим
импульсом), которая определяется соотношением
(74- W)
'Р -* Р (X)
Длина волны связана с р (х) соотношением к (х) = Чр (х). В частности,
рассматривая основное состояние системы и полагая ev = ef, приходим к
соотношению
(T+W) (5.2)
определяемая им величина р0 (х) может быть в полной аналогии со случаем
однородного идеального газа названа граничным импульсом квазиклассической
системы. Однако в отличие от случая однородного идеального газа эта
величина оказывается функцией координат. Если W не зависит от импульса,
то
Ро (х) = 12Л1 (е^ - ?/ -
Физически условие (5. 1) означает, что длина волны должна быть мала по
сравнению с характерными неоднородностями задачи. Иначе говоря, поскольку
практически к - Vр0, граничный импульс, а вместе с ним и эффективный
потенциал должны быть слабоменяющимися • функциями координат.
5. 2. Если параметр % достаточно мал, to в нулевом приближении можно
вообще пренебречь всеми градиентами граничного импульса и потенциала.
Одновременно обращаются в нуль все коммутаторы слагаемых гамильтониана Т
+ W. В результате выражения (4. 34) и (4. 34') превращаются в обычные
функции; входящий в них оператор импульса действует теперь только
на функцию ёхр (грх) [см. выражение (4. 19)1 и может быть
заменен просто числом р. Таким образом, мы приходим к следую-48
щему выражению для квазиклассической функции распределения основного
состояния системы *:
f[x, р) = 0 [eF - &-> (л:)], (5. 3)
где (х) = (Т + W)U -> - квазиклассическое значение энер-р I р-+ р
->
гии частицы, обладающей импульсом р.
В этом и следующем параграфах мы будем рассматривать систему только с
кулоновским взаимодействием. Конкретно речь будет идти о системе
электронов, следовательно, изотопические члены будут опущены. Используя
соотношения (4. 30") и (4. 33'), будем иметь
М = + u ^ 'f 2e'z I d*i dSp'f P'' P') ~
-(2я)"4леа | pf + }) . (5.4)
Обычно функция e_> монотонно возрастает с увеличением
импульса; при этом уравнение (5. 2) имеет только один корень. Используя
очевидные свойства функции 0, можно написать
/ [х, р) =в[р20(х) - р2]. (5.3')
В этом выражении отчетливо проявляются квазиклассические свойства
движения частиц. Действительно, функция распределения (умноженная на
фактор 2/(2л:)а) представляет собой по своему смыслу плотность числа
частиц в фазовом (координатноимпульсном) пространстве. Как видно из
последней формулы, каждая клетка фазового пространства объемом (2я)3,
относящаяся к области р2 <С Рд (х) **, занята двумя частицами. Хорошо
известно, что это характерно именно для квазиклассической системы.
С помощью полученного выражения для функции распределения нетрудно найти
выражения для плотности и энергии квазиклассической системы. Используя
соотношения (4. 16) и (4. 38), получим
<5-5>
Рп (X)
**=нШГ- <5'6)
* Это выражение оказывается непригодным в узкой окрестности границы
Ферми, относительная ширина которой порядка |I/,Z [50].
** В области р2> Pq (х) частиц нет вообще. Заметим, что не заполнена
частицами также область фазового пространства с р2 (х) 0, как это
непосред-
ственно видно из выражения (5. 3').
49
Для вычисления полной энергии можно применить способ, изложенный в
разделе 4. 9. Исходя из соотношения
ef _ ---------------------
j' = 2 jd3p0 (б/, - е->) (е/г - е->)
- оо ^
и используя выражение (5. 4), можно написать
ё ё/г = QU -|-^ 6^ 4^з~ Ро' ^
где потенциал В дается соотношением (4. 30"). Три слагаемых в правой
части выражения (5. 7) соответствуют по своему физическому смыслу энергии
во внешнем поле, энергии прямого и обменного взаимодействия.
В приведенные соотношения входит неизвестная пока функция р о (х). Ее вид
может быть получен с помощью соответствующей процедуры самосогласования.
Подставляя соотношение (5. 3') в (5. 2) и используя конкретные выражения
для Т и IV, приходим к уравнению Томаса - Ферми в интегральной форме:
Pq(x) г г / \ г2 1 dx' о / ,,, е2 , /с- о,
о лГ + ^ (х) + =ГТ Р0 (х ) 3,7 Ро (*) = " еГ- (5- 8)
J \ X - х' I
Энергия Ферми входит в это уравнение как параметр и должна
1 -4
находиться из условия нормировки J d\Q (х) = N.
5. 3. Простейшим примером квазиклассической системы является
однородная система, характеристики которой (в частности, граничный
импульс) не зависят от координат. Условие квазиклассичности (5. 1)
выполняется при этом тривиальным образом, гак как | = 0. Таким образом, в
случае однородных систем никакого различия между приближениями Хартри -
Фока и Томаса - Ферми не существует.
Однородные системы реализуются в тех случаях, когда внешнее поле U (х) не
создает выделенных в пространстве точек. Для однородных систем одноименно
заряженных частиц с кулонов-ским взаимодействием величина U (х) должна
