Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
соотношений, если под q понимать пространственные, спиновую и
изотопическую координаты, под v - соответствующие индексы состояния. В
частности, в v должна быть включена проекция изотопического спина t\
значения t = - +У2 и ( = -V2 отвечают соответственно протонному и
нейтронному состояниям.
Оператор поля ф (<7), удовлетворяющий перестановочным соотношениям (3.
10), можно выразить через операторы протонного
и нейтронного полей [q = x, а):
Ф (?) = 2 Aviv (?) ^ Ф(р) (у) */, + Ф<"> (?j бт> _Vl. (3.
22)
V
Операторы ф(Р), ф^, как и ф(п), фцф удовлетворяют правилам коммутации (3.
10). Что же касается операторов поля разных частиц, то они
антикоммутируют друг с другом. Это обстоятельство не находится в
противоречии с независимостью этих частиц (в смысле отсутствия запрета
Паули), поскольку операторы физических величин, билинейные относительно ф
и ф+, коммутируют при этом друг с другом.
Гамильтониан системы протонов и нейтронов в представлении чисел
заполнения по-прежнему записывается в виде (3. 19), где под ф (q)¦ нужно
понимать выражение (3. 22), а под V - потенциал (1. 11) (без кулоновского
члена) *. Подставляя в Н разложение (3. 22), можно написать
Н -2 J dq [ф?) (<7) 7ф(р) (<7) + ф?> (<7) 74v, (<7)} +
+ -И ^ d4r {^Р)[я) Ф<о(?') ^(рр>Ф<р) (?') Ф(р>1?) +
+ ФU (<7) Фо> (?') v(nn) Ф(") (?') Ф(я> (?) +
+ 2ф(р> (?) Ф|Ь> (?') Ир") Ф<">( я) ф<р> iq) +
+ 2ф(|о) (?) Фио I?') ^Г(Р")'Ф(Р) ( у") Ф(п) (у)}- (3.23)
Остальные члены, содержащие нечетное число индексов (р) и (п), исчезают в
силу соотношения
-'/г
* Об учете кулоновского взаимодействия в атомном ядре см. в § 7.
33
Потенциалы взаимодействия между одинаковыми частицами имеют вид
Что же касается потенциала взаимодействия между протонами и нейтронами,
то он состоит из двух частей. Первая
приводит к превращению протона в нейтрон и обратно.
Таким образом, в дальнейшем в качестве гамильтониана системы будет
использовано общее выражение (3. 19), пригодное для описания как
многоэлектронных, так и многонуклонных систем.
3. 9. Системы многих частиц в этом параграфе до сих пор
рассматривались в представлении Шредингера. В дальнейшем нам понадобятся
уравнения движения для операторов поля в представлении Гейзенберга. Для
их получения следует воспользоваться общим соотношением (2. 4), понимая
под аг величину фг или ф+ и под Я-гамильтониан (3. 19). Заметим, что
вместо Я удобнее взять оператор Яг, отнесенный к тому же моменту времени
t, что и рассматриваемые операторы поля.. Пользуясь выражением (2. 10),
можно написать
Hr(t) = \dqy+(q, t)T^AQJ) +
4-4" [ dqdq ф^ (q, t) ф^ (q', t) Кфr(q', t)tyr(q, t). (3. 26)
При вычислении коммутатора, входящего в соотношение (2. 4), приходится
сталкиваться, таким образом, только с операторами, отнесенными к одному и
тому же моменту времени. Соответствующие правила коммутации совпадают с
аналогичными правилами для операторов в представлении Шредингера (3. 10)
[см. соотношение (2. 11)1:
I/ _ I/ (1-^<0))
•Орр) - У(ПП) - V(c) + V (а)-------2----
(3. 24)
(3. 25)
не меняет вида взаимодействующих частиц, вторая
(3. 25')
{фг(<7. 0. W, 0) =b{q-qf).
{фг(<7, t), фг(<7\ t)} = {ф+ (<7, t), ф^ 07', *)} = 0. (3. 27)
34
При несовпадающих временах правила коммутации имеют весьма сложный вид.
Используя далее простые тождества
[а, be] = {&, а] с - Ь {с, а),
[a, bcde] - {b, a) cde - b {с, a] de + be {d, а}е - bed {е, а),
где а, Ь, с, d, е - произвольные операторы, получаем окончательно
следующее уравнение в представлении Гейзенберга:
Т) ^ = t) Ифг(<7', 7)Фг(?, t). (3.28)
Аналогичное уравнение для ф^ (q, t) получается отсюда эрмитовым
сопряжением.
ГЛАВА II
СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ В ПРИБЛИЖЕНИИ ХАРТРИ - ФОКА § 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ
- ФОКА
4. 1. Математические трудности, присущие теории многих
взаимодействующих частиц, побуждают начать построение этой теории с
выбора подходящего нулевого (исходного) приближения. Этот выбор должен
быть подчинен следующим двум требованиям. С одной.стороны, необходимо,
чтобы указанное приближение было достаточно простым в математическом
отношении. С другой стороны, желательно, чтобы оно как можно полнее
отражало свойства реальной системы многих частиц.
Как уже отмечалось во введении, основные математические трудности теории
многих взаимодействующих частиц связаны с тем, что понятие индивидуальных
состояний частиц системы (в отличие от понятия состояния системы в целом)
теряет свой точный смысл и может рассматриваться в лучшем случае как
более или менее удачное приближение к действительности. Естественно
поэтому потребовать, чтобы нулевое приближение теории многих частиц было
совместимо с понятием индивидуальных состояний частиц. Для краткости
приближения такого рода мы будем Ha3bij вать одночастичными.
Чтобы удовлетворить второму из приведенных требований, мы должны отыскать
наилучшее * из одночастичных приближений. Такое приближение носит
название приближения Хартри - Фока (или приближения самосогласованного
