Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
поля); оно и выбирается в качестве нулевого приближения при построении
теории многих частиц.
Это приближение в ряде случаев само дает достаточно точное описание
системы взаимодействующих частиц.
Во всей главе используется представление Шредингера.
4. 2. Задача о построении нулевого приближения сводится к нахождению
приближенного гамильтониана //", заменяющего
* По поводу точного смысла термина "наилучшее приближение" см. раздел 4.
6.
36
точный гамильтониан Н. Наиболее общее выражение для Н0, отвечающее
одночастичному приближению, может быть записано в виде *
H0 = SdqMp+(q)(T+W)Mp (q)+C, (4.1)
где С - некоторая константа; W-неизвестный пока оператор.
Оператор Т + W играет роль эффективного гамильтониана частицы в
рассматриваемом приближении. Решение уравнения
(Т -f W) (q) = evXv (q) (4. 2)
дает волновые функции и энергии индивидуальных состояний частиц системы.
При отсутствии взаимодействия оператор W обращается в нуль, а уравнение
(4. 2) переходит в (3. 1). Явный вид оператора W и константы С будет
найден ниже.
Систему функций %v удобно выбрать в качестве базиса представления чисел
заполнения. При этом выражение (4. 1) можно переписать в виде (см. раздел
3. 7)
Я0 = ^ sVnv + С, ¦ (4. 3)
V
где nv - операторы чисел заполнения. Учитывая то обстоятельство, что эти
операторы коммутируют друг с другом, можно прийти к соотношению.
[Я0, пу\ - 0. (4. 4)
Иными словами, числа заполнения индивидуальных уровней являются
интегралами движения. Этот факт, очевидно, является выражением
одночастичного характера рассматриваемого приближения.
Вводя волновую функцию ?0 оператора Н0
Я0?0 = ?Д0, ' (4.5)
можно переписать соотношение (4. 4) в следующем виде:
nvV0 nvY0. • (4. 6)
Таким образом,, волновая функция стационарного состояния системы в
одночастичном приближении относится к классу функций с определенным
заполнением уровней.
4. 3. Рассмотрение системы многих частиц в одночастичном приближении
значительно облегчается введением в аппарат теории таких величин, как
матрица плотности, оператор заполнения, функция распределения. Эти
величины непосредственно связаны с физическими характеристиками системы.
Одночастичная матрица плотности рассматриваемого состояния системы 4х0
определяется соотношением
R [q, q) = { | ф+ (q) ф (q) | ) = 2 "vXC (q) lv (q) (4.
7)
V
* Существуют и более сложные формы одночастичного гамильтониана. Они,
однако, связаны с выражением (4. 1) каноническим преобразованием.
37
(см. приложение А). Она дает исчерпывающую информацию об одночастичных
характеристиках системы: средних значениях одночастичных операторов *,
распределении плотности соответствующих величин и т. д. В частности,
распределение плотности числа частиц дается равенством
q (х) = SpffT/? (х, а, т; х, о', т'), (4.8)
где Sp0T - шпур по дискретным переменным.
Аналогичным образом можно ввести и матрицы плотности высшего порядка,
описывающие двухчастичные и т. д. характеристики системы. В одночастичном
приближении эти матрицы полностью сводятся к R (q, q') (см. приложение
А).
Матрицу плотности R (q, q') можно считать матричным элементом некоторого
оператора q (оператора заполнения). Этот матричный элемент вычисляется с
помощью волновых функций 6 (q - qо), отвечающих определенному значению
координаты q **:
R (q, q') = (q| q | q') = jdq0 6 (q0 - q) Qub{qQ - q') =
= ЧчЬ(Я - Ч')- (4.9)
Разлагая 6-функцию в этом выражении по системе функций %v
с учетом условия полноты
W xv(<7) в(<7 -<7')
V
и сравнивая полученное выражение с соотношением (4. 7), находим
Qlv(q) = nvXv(q). (4.9')
Оператор q, имея в качестве собственных значений числа заполнения
системы, зависит, таким образом, от рассматриваемого состояния системы.
Ввиду равенства ti2v = nv (n = 0,1) оператор е удовлетворяет условию
Q2 - Q- (4.10)
Явный вид оператора q может быть найден следующим путем. Числа заполнения
tiv зависят от энергии состояния ev и других величин (проекции спина,
момента количества движения и т. д.),
дающих вместе с энергией полное описание состояния %v. Огра-
* Под одночастичным мы понимаем оператор типа § dq\f+ (q) (q),
N
имеющий в конфигурационном представлении вид ]^а'- Аналогично двухчастич-
i=1
ный оператор относится к типу - j" dq dq'ty+ (q) ф+ (q') а2ф (q') ф (q) и
т. д. (см. § 3).
** Индекс у оператора означает переменную, на которую оператор действует.
38
ничимся рассмотрением таких систем, у которых характер заполнения уровней
определяется только энергией. Другими словами, предположим, что все
подсостояния, отвечающие данному уровню энергии (вообще говоря,
вырожденному), либо одновременно заполнены, либо одновременно свободны.
Такие системы обычно называются системами с заполненными оболочками (см.
§ 9).
Итак, предположим, что nv = п (ev). Учитывая уравнение (4. 2), можно
написать* nv%v = п (ev) %v п (Т + W) %v, откуда
[q = п(Т+ W). (4. 11)
Таким образом, оператор q получается при формальной замене в выражении
для чисел заполнения энергии уровня bv гамильтонианом Т + W. Оператор @,
