Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
( ?вак | AVA+1 Ч'сак )|= ( ?вак[| 6MV - А+А* I ^вак) = 6MV.
Это относится и к операторным функциям (см. раздел 3. 4).
3. 4. Помимо операторов Av и At, отвечающих уничтожению и рождению
частицы в состоянии v, большую роль в аппарате теории играют операторные
функции (или операторы поля)ф(^) и ф+ (<7), описывающие уничтожение и
рождение частицы в точке q. Эти функции определяются следующим образом:
ф {q) = 2 Avxv (q), ф+(?) = 2 А+%1 (?). (3. 9)
V V а
Покажем, что в результате действия оператора ф+ (^0) на вакуум
действительно получается состояние локализованной в точке q0 частицы.
Имеем
1>+ (<7о) ^вак = (<7о) Ч- о • • • , ...,
V
где единица отвечает занятому v-му состоянию. Переходя в конфигурационное
представление [см. выражение (2. 12) ] и учитывая, что для одночастичного
состояния функция Ф" (Q) равна просто %у (q), с помощью условия полноты
системы функций %v (q) найдем *
Y (Q) = 2 tv (<70) Xv (?) = б (Я - <7о).
V
откуда и следует высказанное утверждение.
Пользуясь тем же условием полноты, нетрудно найти правила
коммутации рассматриваемых операторов. На основе правил
коммутации (3. 7) получим
(ф(?), ф+(?')} =6(<7 - q')A {ф, ф} = {ф+, ф+} = 0. J Подобно выражению
(3. 6) можно написать
Ф(Лак = 0, ?;акф+(<7) = 0. (3.11)
3. Б. Пользуясь выражениями (3. 5), нетрудно показать, что оператор
nv = AtAy (3.12)
удовлетворяет соотношению
nvWnn = nov?"o
* Здесь и ниже 6 (q - q0) означает произведение б-функции
пространственных координат и б-символов дискретных координат.
30
и может быть поэтому назван оператором чисел заполнения. Операторы щ
коммутируют друг с другом.
Оператор полного числа частиц N = '2inv удовлетворяет не
V
только соотношению 1\Р?По = NWПо, но и более жесткому условию
JVY (п, t) = NW (n, t), (3.13)
которое связано с сохранением полного числа частиц системы. Иными
словами, оператор N коммутирует с полным гамильтонианом системы.
Оператор N можно выразить и через операторы поля:
N = j dqq+ (q) ф (q). (3.14)
Пользуясь перестановочными соотношениями (3. 10), нетрудно получить
полезное соотношение
NHp(q) = Hp(q)(N-l). (3.15)
3. 6. Сформулируем правила построения оператора произвольной
физической величины а в представлении чисел заполнения. Искомый оператор
выражается через операторы рождения и уничтожения и имеет следующий
простой вид:
"' = [ ^<2Ф+ Ы • • • Ф+ Ы аф Ш • • • Ф Ы- (3. 16)
Для доказательства этого достаточно, использовав выражение (2. 14),
убедиться в выполнении равенства
/ Y ' I a' IY \= fdQU>*, (<Э)аФ (Q),
\ "о 1 1 па/ J "о ' V
которое в свою очередь вытекает из соотношения
у=Г Ф (<7i) • • Ф М ^ (Q) YBaK.
Последнее соотношение уже нетрудно доказать. В самом деле, произведение
операторов ф уничтожает все частицы, присутствующие в Y"0, и переводит
эту функцию в вакуум. Каждый акт уничтожения сопровождается, согласно
определению (3. 9), появлением функции %v (д), причем получившееся
произведение этих функций будет, как и исходное произведение операторов,
антисимметричным. Остается убедиться в правильности численного
коэффициента.
Норма правой части последнего соотношения равна единице, левой части -
выражению
(ЛП)-1 jdQ ( Y"o | ф+ (qN)l . .^i|5+ (4l) ф (qj ... ф (qN) | ^ ).
Если выделить оператор N = J dqxф+ (qx) ф (^x) и перенести его направо с
учетом выражения (3. 15), затем повторить ту же
31
процедуру с N = § dq2ty+ (^2) ф (^2) и т. д., то в результате придем к
равному единице выражению:
(Niy1 (Wna\N(N-l) ...|Ф"0}-
Если оператор а имеет "-частичную структуру
N
ttn = ИГ (3.17)
г1 • • • 'п=1
где штрих означает пропуск всех слагаемых, у которых хотя бы одна пара
индексов совпадает, то общую формулу (3. 16) можно упростить. Для этого
нужно образовать операторы N, относящиеся к аргументам, не входящим в et-
. . t-n, и перенести их направо, учитывая соотношения (3. 15) и (3: 13).
В результате получается известное выражение:
"" = ДГ f dqi ¦¦¦ d^+ (?") • • • toi) toi)^ (4n)> (3. 18)
в котором уже нет суммирования по частицам.
3. 7. На основе сформулированных правил нетрудно построить
гамильтониан системы с парным взаимодействием в представлении чисел
заполнения. Исходя из соотношений (1. 3), (1. 4) и учитывая выражения (3.
17) и (3. 18), получим
Н=§ dqty+(q) Гф (q) + -i- f dqdq'$+ (q) X
Xty+(q').V(q, q')^(q')^(q). (3.19)
Само уравнение Шредингера в рассматриваемом представлении имеет вид
Гамильтониан (3. 19) можно выразить и непосредственно через операторы А,
А+. Подставив в выражение (3. 19) соотношения (3. 9) и введя обозначения
<v|7,|(x) = j,rf^x*(^')7,xvto),
( vp I VI aK) = j dqdq'%*a (q) %*x (q') Vx^ {q) %v(q),
получим
H=y(v\T\ii)AiAv + -±- 2 (vp|K| ok ) A+AtA^A,. (3. 20>
HV
Если базис представления Xv{q) удовлетворяет уравнению (3. 1), то первое
слагаемое выражения (3. 20) можно записать в виде
= (3.21)
- V
32
3. 8. До сих пор речь шла о системе тождественных частиц. Описание
системы протонов и нейтронов в пренебрежении их электромагнитными
взаимодействиями также осуществляется с помощью приведенных выше
