Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 11

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 127 >> Следующая

i = Я>в. (2. 6)
Учитывая выражения (2. 1) и (2. 2) и используя уравнение (1. 1), найдем
¦ dU ин
i dt - яя",
•откуда
U exp (iH0t).
Таким образом,
?в = exp (iH0t) Y,
aB = exp (iff0t) a exp (-гЯо0,
Я0].
Найдем далее явную зависимость от времени матричного элемента:
( Ч'о (") I "в I %(") / ¦
Повторяя рассуждения, которые привели нас к соотношению (2. 5), получим
( ^(т) | | ИД (л) ) =
= (ЧДрл) |а|?0(Л))ехр [-i(E0{fI) - ?0(m)W], . {'2.8)
где 'Fo(n) является решением уравнения
Н<№о(п) =
Нетрудно найти и оператор перехода от представления взаимодействия к
представлению Гейзенберга. Совершая промежуточный переход в представление
Шредингера, получим *
U = exp (iHt) exp (-iH0t). (2. 9)
Другое выражение для этого оператора дается S-матрицей (см. гл. III).
При переходе от представления Шредингера к представлениям Гейзенберга и
взаимодействия полезно иметь в виду, что преобразованное произведение
операторов равно произведению преобразованных сомножителей
Uab ... zU- UaU1 UbU'1
или
(ab ... z)' = ab' ... z'. (2. 10)
В частности, преобразуя соотношение типа [а, Ь\ - с, где с не оператор, а
обычное число - с-число, легко убедиться, что
{"'(*), b'(t)} = Ui^cUit)-1^ с, (2.11)
где преобразованные операторы отнесены к одному и тому же моменту
времени. Таким образом, соотношение рассмотренного типа (его называют
перестановочным соотношением) сохраняет свой вид во всех представлениях,
если относить входящие в него операторы к единому моменту времени.
2. 4. Другая возможность изменения способа описания системы связана с
переходом от координат Q к новым динамическим переменным к. Пусть ИД (Q)
- полная ортонормированная система функций, отвечающих определенным
значениям этих переменных.
Разложим волновую функцию ? (Q, t) по этой системе:
V(Q, t) = 2v(b, t)(r)x(Q)- (2-12>
X
Коэффициент этого разложения
t) = $dQ<bl(Q)4r(Q,t) (2.13)
* Объединение показателей в этой формуле недопустимо, так как операторы
Н0кН не коммутируют друг с другом.
25
играет роль волновой функции в новом представлении. В частности, квадрат
его модуля дает вероятность обнаружить данное значение А новой
динамической переменной. Символ J dQ означает интегрирование по всем
пространственным и суммирование по всем дискретным координатам.
Из сопоставления выражений (2. 13) и (2. 1) можно было бы найти явный вид
соответствующего оператора перехода U. Построение преобразованного
оператора а' не составило бы тогда труда. Проще, однако, исходить
непосредственно из равенства (2. 3), которое дает выражение для
матричного элемента преобразованного оператора:
2. 5. В качестве новых динамических переменных можно выбрать величины,
являющиеся характеристиками частиц системы - их координаты, импульсы,
энергии и т. п. При этом мы имеем дело с так называемым конфигурационным
представлением (в широком смысле этого термина).
Функцию (Q) в этом случае можно представить в виде произведения
одночастичных функций (qt), каждая из которых относится к одной из частиц
системы (Аг - значение соответствующей динамической переменной г-й
частицы). В частности, если переменные А означают координаты частицы, то
функция Хяг {qi) = = б {q( - qiti) является волновой функцией состояния с
определенным значением координаты, равным qol. В импульсном пред-->
ставлении, где А, = pt*,
При этом преобразованная волновая функция ? ;
представляет собой фурье-образ функции ? (Q, t).
Другая возможность выбора динамических переменных приводит к важнейшему
для дальнейшего представлению чисел заполнения (или представлению
вторичного квантования), которое будет подробно рассмотрено в следующем
параграфе.
Для перехода к этому представлению необходимо задаться произвольной
полной совокупностью (базисом) одночастичных волновых функций Хя (я)> ¦ •
X*.v (я) • • •> гДе числовой индекс указывает номер состояния в этой
совокупности, а индекс А, как и выше, показывает, собственными функциями
какого оператора являются функции х- Динамической переменной следует при
этом считать не величины А, а число частиц системы, находящихся в каждом
из состояний выбранного базиса. Поскольку частицы
* Здесь для простоты опущены дискретные координаты. Q - нормировочный
объем.
<A'|a'|A)=JdQ(D*, (Q)aOx(Q).
(2. 14)
26
системы считаются тождественными, такой подход дает полное ее описание.
Из всего сказанного следует, что изменение способа описания системы при
переходе к новому представлению затрагивает разные стороны этого
описания. Сюда относится прежде всего возможность изменения характера
зависимости входящих в аппарат теории величин от времени. Соответственно
этому различаются представления: Шредингера, Гейзенберга и представление
взаимодействия.
Имеются, далее, различные возможности специализации общего-характера
динамических переменных. Для конфигурационного-представления - это
величины, являющиеся характеристиками, частиц системы, для представления
чисел заполнения - числа заполнения базиса.
Наконец, можно по-разному выбрать ту характеристику частицы (выше мы ее
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed