Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
очевидно, коммутирует с Т + W, что' отвечает стационарности распределения
и находится в соответствии с выражением (4. 4).
4. 4. С помощью оператора е легко вычислить среднее значение
одночастичного оператора = j dq (q) о^ф (а)
('F0|a1|?0) = Sp(alQ). (4.12)
Аналогично для двухчастичного оператора
а2 = 4" J dqdq'ty* (q) ф + (q') а2ф (q1) ф (q)
имеем
(I а21 ) = ~2~ ^P (1 & 12) (4- 13)
Здесь if 12 - оператор перестановки координат (см. раздел 1. 3);
Sp - шпур по всем переменным. В частности, условие нормировки имеет вид
Sp (е) = N, (4. 14)
где N - полное число частиц в системе. Вывод соотношений (4. 12), (4. 13)
см. в приложении А. Там же даны правила вычисления шпура.
Для вычисления плотностных величин удобно ввести так
называемую функцию распределения / (х, р), получающуюся при фурье-
преобразовании R (q, q') по разности пространствен-
ных координат х-х':
я (<7> Я') = J dfpf (*> р) ехР [ip (* -*')] • (4-15)
---------- (Л-р'Р
* Функция от оператора имеет общую с ним систему собственных функций, а
их собственные значения связаны тем же соотношением, что и сами операторы
(см. приложение Б).
39
Величина f\x,p), являющаяся матрицей по дискретным переменным, будучи
проинтегрирована по импульсам, дает распределение вероятности координат
q(x) = Spax§dspf(x, р). (4. 16)
Аналогично распределение вероятностей импульсов дается соотношением
q[p) = Sp0T j dxf (x, p). (4. 17)
Функцию распределения нетрудно связать с введенным выше оператором q.
Подставляя в левую часть выражения (4. 15) соотношение (4. 9) и разлагая
входящую в последнее соотношение
функцию б (х - х' ) в интеграл Фурье, находим
/ (х, р) = ( е )¦*, (4. 18)
где введено обозначение *
{")->= exp (- ipx] a exp (ip х) . (4. 19)
4. 5. Простейшим из одночастичных приближений является приближение
идеального газа, в котором взаимодействие между частицами игнорируется
полностью. В этом случае оператор //" совпадает со свободным
гамильтонианом HF, а величины IV и С равны нулю.
Индивидуальные волновые функции %v идеального газа определяются
уравнением (3. 1). В простейшем случае отсутствия внешнего поля решение
этого уравнения можно выбрать в виде
%v (ч) = (r)~'/2 ехР {ip х) - (4- 2°)
что соответствует состоянию частицы с определенным значением импульса,
проекции обычного спина s и изотопического спина t.
Энергия системы Е0 получается при усреднении гамильтониана (3. 21) по
состоянию Ч*,, и имеет вид
Е0 - 2 Evnv*
V
где ev - энергии индивидуальных уровней. Исходя из этого
соотношения, нетрудно найти характеристики основного состояния системы.
Минимальное значение Е0 будет, очевидно, иметь место при
nv = 0 (eF - ev), (4-21)
* Выбирая в качестве обкладок в этом соотношении собственные функции
не оператора импульса р, а любого другого оператора, можно прийти к
функции распределения соответствующей величины [43].
40
где величина eF, носящая название энергии Ферми, определяет верхнюю
границу заполненной части спектра и находится из условия нормировки.
Функция 0 (х) определяется следующим образом:
( 1 х > О
0 ^ = { 0 х < 0.
Волновая функция основного состояния системы может быть записана в виде
Ч'0 = (ПЛ+) ?вак, (4. 22)
Ev<8f
где фигурируют операторы рождения, относящиеся ко всем заполненным
уровням. Переход в этом выражении к конфигурационному представлению дает
обычный детерминант Слейтера - Фока. Оператор заполнения в
рассматриваемом случае, согласно выражению (4. 11), может быть записан в
форме
е = 0 (t>- Т). (4.23)
В отсутствие внешнего поля основное состояние системы характеризуется
граничным импульсом р0, определяемым соотношением е,. = рУ2М. Отсюда с
учетом того, что Т = р2/2М, получим
6 = в(Р§ -/>а),
и функция распределения примет вид *
f[x, р) = 0 (РЗ - Р*)- '(4.24)
Эта величина не зависит в данном случае от координат.
С помощью соотношения (4. 16) нетрудно найти плотность числа частиц,
которая определяет граничный импульс:
" = ¦#• (4.25)
Здесь g = SpaT (1) - фактор вырождения, равный числу под-состояний с
различными проекциями дискретных переменных; для электронов g - 2, для
нуклонов g = 4.
Используя выражение (4. 12), нетрудно найти энергию основного состояния в
отсутствие внешнего поля (см. приложение А, раздел А. 2):
?" = Sp (Те) - SP(JT I dxd*p(J^ 0 (pi-/>2)\ = .
* Оператор импульса р в предыдущей формуле при действии на exp(ipx) в
выражении (4. 19) превращается просто в число р.
41
Своим происхождением эта величина целиком обязана принципу Паули.
Величина Е0 пропорциональна полному числу частиц N = Qq
и равна Е0 = N. Отметим, что производная Рав~
ная химическому потенциалу системы р., совпадает с граничной энергией
Ферми:
О
V = W = <4' 26)
Это соотношение носит довольно общий характер (см. § 23).
4. 6. Наряду с приближением идеального газа существует множество
других одночастичных приближений, в которых взаимодействие между
частицами тем или иным способом уже принято во внимание.
Поставим вопрос о нахождении наилучшего из таких приближений;
