Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 10

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 127 >> Следующая

колебания частиц около положений равновесия приводят к должному
увеличению их кинетической энергии. Поэтому увеличение расстояния между
частицами не только не препятствует, а, наоборот, способствует появлению
в системе ближнего порядка.
Оценим величину параметра а для некоторых реальных систем. Атомное ядро,
например, оказывается системой со слабым кулоновским взаимодействием. В
самом деле, величина d для такой системы равна примерно 1 ферма, а
боровский радиус протона - 30 ферми. Для электронов проводимости металла
параметр а имеет порядок единицы. В атоме с числом электронов Z параметр
а ~ Z~2/* и при больших Z мал (см. § 5).
Как видно из изложенного, параметры а и ц в кулоновской системе не
независимы: сжатая система, например, одновременно является системой со
слабым взаимодействием.
Также обстоит дело и в случае высоких температур. При этом роль
кинетической энергии играет величина кТ, соответственно v0 - (kT!М)'!*,
откуда
Отметим, что (как следует из выражения для ц) с увеличением расстояния
между частицами система становится по принятому определению не
разреженной, а, напротив, более сжатой. Этот несколько парадоксальный
вывод связан с тем, что величина де-¦баевского радиуса быстро растет с
увеличением расстояния между частицами.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
2. 1. Кроме способа, изложенного в § 1, возможны и другие способы
описания квантовой системы - другие представления. При переходе к новому
представлению наблюдаемые величины - собственные значения операторов, их
средние значения, вероятности переходов и т. д. - должны, разумеется,
оставаться неизменными.
Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью
унитарного оператора перехода U. Соответствующее изменение волновой
функции дается соотношением
(1.29)
22
W = UW,
а изменение оператора физической величины а соотношением
а' = UaU1. (2. 2>
Штрихом снабжены преобразованные величины.
Легко видеть, что матричные элементы оператора при переходе к новому
представлению вообще не меняются:
<y;|"' |?;) = (?1|а|?2). (2.з>
Благодаря этому остаются неизменными и перечисленные выше наблюдаемые
величины.
2. 2. Переходом к новому представлению можно добиться прежде всего
изменения характера зависимости волновой функции и операторов от времени.
Имеется возможность полностью или частично "перенести" эту зависимость с
волновой функции на операторы.
В исходном уравнении (1. 1) от времени зависит лишь волновая функция, а
не операторы физических величин. Такой способ описания отвечает
представлению Шредингера.
Представление же Гейзенберга характеризуется тем, что от времени зависит
не волновая функция, а операторы. Снабдим величины, относящиеся к этому
представлению, индексом "г". Приравнивая нулю производную 1Fr = C/W по
времени и учитывая уравнение (1. 1), получим
id U/dt = -UH.
Требуя, чтобы при t = 0 величины в обоих рассматриваемых представлениях
совпадали, найдем U = exp (iHt), откуда
?г = exp (iHt) аг = exp (iHt) а exp (- iHt).
Если подставить во второе соотношение а = Н, то получим
Нг =Н. Дифференцированием соотношения для аг легко найти
уравнение движения для оператора в представлении Гейзенберга:
i^-r = [ar, Яг] = [аг,Я]. (2. 4>
Отсюда следует, что dHJdt = 0, поэтому оператор Нг можно
относить к любому моменту времени.
Применяя оператор U к волновой функции стационарного состояния, легко
видеть, что в этом случае 1Fr просто совпадает с не зависящей от времени
частью волновой функции Y (Q) [см. уравнение (1. 2)].
В дальнейшем нам понадобится общее выражение для матричного элемента
оператора, относящегося к стационарным состояниям системы. Речь идет о
величине
- (1Er(m) [ | ^ГОО),
где ?г(п) - собственная функция гамильтониана Н^Г(П) = = ?(")'Fr(n).
Можно без труда найти явную зависимость вели-
га
чины М(тп) от времени. С этой целью продифференцируем М(тп) по г1 с
учетом уравнения (2. 4):
¦ ^ (?r (т) | [Иг) Щ | (п) } = {Е(п) _ ?(т)) М(тп)
.
Окончательно имеем
<Тг(т)|аг|?г(п)) = <Yr(m)|a|?r(n)) х
X exp [ - i (?¦(") - Е(т)) t\. (2.5)
Здесь a - оператор в представлении Шредингера.
2. 3. Частичное перенесение зависимости от времени с волновой функции
на операторы приводит нас к представлению взаимодействия. Выразим
гамильтониан Я в виде суммы Я0 + Я'; Н0 можно отождествить со свободным
гамильтонианом HF, а Я' - с гамильтонианом взаимодействия НЛ в гл. III
используется иное разложение Я на Н0 и Я').
Будем требовать, чтобы зависимость волновой функции от времени
определялась оператором Я', а эволюция операторов во времени происходила
бы за счет оператора Н0. Такое представление можно считать, как
показывают соответствующие формулы, гейзенберговским по отношению к Я0 и
шредингеровским по отношению к Я'. При отсутствии взаимодействия мы
возвращаемся, очевидно, к представлению Гейзенберга.
Снабжая величины в представлении взаимодействия индексом "в", можно
записать уравнение Шредингера в следующем виде:
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed