Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассуждения, с помощью которых было получено уравнение Томаса - Ферми (5.
8), основывались на выражении для функции распределения (5. 3). Однако
это выражение неточно, поскольку при его выводе не учитывалась
некоммутация операторов, входящих в точное выражение (4. 34')-
Операторную функцию в выражении (4. 34') запишем в видеб (а + Ь), где а =
-/?2 = = Д; Ь = ро М; обменные члены опущены.
Фактически выражение (5. 3) представляет собой нулевой член разложения
функции распределения в ряд по |. Члены высших порядков ведут свое
происхождение от коммутаторов операторов а и Ь, причем степень | при
каждом члене этого разложения определяется числом и структурой входящих в
него коммутаторов.
Ограничиваясь членами второго порядка по ?, следует учесть только те
коммутаторы и их произведения, где содержится не более двух операций
коммутирования. Действительно, при переходе к коммутаторам более сложного
типа каждая новая операция коммутирования приводит к появлению минимум
одного дополнительного дифференцирования функции pi (х), т. е. минимум
одной лишней степени
В приложении Б получена общая формула для разложения произвольной функции
/ (а + &) в ряд по коммутаторам с нужной нам точностью [см. (Б. 17)]:
f (а + Ъ) = f (а+ Ь) - ^Г f" (а + al +
+ Г (а + Ь){ [Ь [Ь, а]] ~[а[Ь, а])} +-
+ 4-Р(а + Ь)[Ь, а]2+ • • • (5.19)
55
Здесь предполагается, что оператор / (а 4- Ь) действует на собственную
функцию оператора а с собственным значением а. В рассматриваемом случае
наблюдается именно такая ситуация -
функция 0 [р2 (х) - р2] действует на exp (ipx); под а + Ь в предыдущей
формуле следует понимать, таким образом, р2 {х) -- р2.
Вычисление фигурирующих в выражении (5. 19) коммутаторов дает с требуемой
точностью
[Ь, а] - - Др2 - 2 (Vp2) V,
[Ь [Ъ, а]] = 2 (Vp2)2,
["[&, а]] = - 4(VtV*po) V/V*,
I ft, af = 4 (V,-po) (V kpl) V?-V&.
Используя соотношение (4. 34'), приходим к следующему выражению для
функции распределения с квантовыми поправками:
f (х> Р) - 9 (Ро - Р2) + 4" (APl + 2(PvPq) б' (Ро - Р2) +
[(Vp2)2 ^ (pV)2p2] б" (р2 р2)
(pVp2)2
'(Ро
-Р2).
(5. 20)
5. 9. Подстановка полученного выражения в соотношение (4. 16) дает
исправленное выражение для плотности числа частиц
146, 47, 51-531:
в*
Л.
Зя2
6s.
96я2Рц
[W
4РоДРо1
(5. 21)
Выражение для кинетической энергии удобно искать на основе метода,
описанного в § 4. Достаточно заметить, что, согласно выражению (5. 12),
от eF зависит лишь р2 (но не Vp2, Др2 и т. д.), причем линейным образом.
Поэтому интегрирование по гР выражения (5. 21) совершается элементарным
путем. Применение соотношения (4. 38) приводит к следующему выражению для
кинетической энергии:
<§k
Ро
10я2М
k 2
(5. 22)
56
Переход в этом выражении к аргументу q с помощью соотношения (5. 21)
приводит к формуле
"* = тж + ш(Т-6 Aq1 • (5-23>
Второй член этого выражения совпадает по форме с известной поправкой
Вейцзеккера [54], но имеет в девять раз меньший коэффициент [46, 51 ].
Аналогичным, хотя и более громоздким, образом могут быть найдены и
поправочные члены четвертого порядка по Опуская промежуточные выкладки
[43, 55], приведем окончательные выражения:
"* = ^1-6МД^ + 80^о(М)2-Ь
У- 192p*Vp%VAp2 h 64Pl (V^p2)2 - 200 Др2 (Vp2)2 -
- 240P^.V^W^2 + 175 (Vp2)*}. (5. 24)
Соответствующее выражение для §ki отличается от соотношения (5. 24)
лишним множителем p2J6M и заменой коэффициентов в фигурных скобках
соответственно на -576, 400, 960, 320, -840, - 1008, 675.
Приведенные выражения для поправочных членов свидетельствуют о весьма
быстром убывании численных коэффициентов в разложении физических величин
в ряд по параметру |.
5. 10. Входящая в приведенные выше соотношения величина р2 {х) не
совпадает со своим квазиклассическим выражением, а сама содержит
квантовые поправки. Для их нахождения подставим соотношение (5. 21) в
общее выражение (5. 13), заменяя при этом р2 -> р2 + 62р2;
(А - Дг л) Vi" - ^ дРу.
Используя тождество
(Vp2)2 = 2А р2 pi Ро
4Др0
и производя замену Др2 р2 *, нетрудно убедиться в том,
что между квантовой б2р2 и обменной б;р2 (см. раздел 5. 7) поправками к
р2 существует простая связь:
б2р2 = 4б>Ро-1^Ро. (5.25)
* Здесь опущен член -8зш, поскольку он входит лишь в комбинации с р0 '.
Если, как это предполагается, рассматриваются лишь точечные источники
внешнего поля, эта комбинация обращается в нуль.
57
Квантовая поправка к плотности с учетом выражения (5. 21) имеет следующий
вид:
^26 = ~2^2 Ро^гРо + 62 =
= "9л2" -Ь 24я2 Ар°'
Отсюда следует, что, поскольку интеграл от последнего члена исчезает,
выполнение условия (5. 16) гарантирует правильную нормировку и квантовых
поправок к р2.
Таким образом, обменные и квантовые поправки имеют одинаковый порядок
величины; более того, их зависимость от координат определяется одной и
той же функцией.
В заключение найдем квантовую поправку к энергии системы. Сделаем
выкладки, аналогичные произведенным в разделе 5. 7: заменим в выражении
(5. 17) индексы 1 на 2, понимая под ё2 величину gk2 из соотношения (5.
