Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
f(tp) = (n(T+W))t. (4.34)
Совокупность соотношения (4. 34) и определений операторов Т, W в
выражениях (1. 3), (4. 30) - (4. 33) полностью эквивалентна уравнениям
Хартри - Фока и представляет собой их операторную форму. Необходимо
подчеркнуть, что простота этих соотношений иллюзорна. Дело в том, что
выражение (4. 34) содержит функдию от суммы некоммутирующих операторов.
В самом деле, из правил коммутации
Гр, fw|= -iVF (*)
следует, что операторы Т, А и В попарно некоммутативны. Правила обращения
с такими функциями в достаточной мере сложны (см. приложение Б). Таким
образом, переход к операторной форме приводит лишь к смещению центра
тяжести расчетов: вместо решения уравнения Шредингера приходится
заниматься "расшифровкой" функции некоммутирующих аргументов.
В общем случае обе эти задачи в одинаковой степени сложны. Однако в
применении к рассматриваемому в § 5 квазикласси-ческому случаю, а также
при исследовании некоторых общих вопросов операторный подход имеет
несомненные преимущества.
4. 9. Переходим к нахождению энергии системы в рассматриваемом
приближении. Согласно выражению (4. 5) можно написать
Д0 = (?0|Я0|?0).
Учитывая соотношение (4. 3) и приведенные в приложении А соотношения (А.
14), (А. 15), имеем
Ео -= 2 ev"v ~~ ~Y 2 n".nv'( v(\ - #)! pv }.
V JU.V
С помощью этого выражения можно определить характер заполнения уровней в
основном состоянии системы. В болыпин-
* Несмотря на эту зависимость, гамильтониан Т-\- W является единым для
всех состояний %v. Поэтому основные квантово-механические положения,
относящиеся, в частности, к вопросам полноты и ортогональности системы
функций Xv, сохраняют в данном случае свою силу.
45
стве случаев этому состоянию отвечает то же заполнение уровней, что и в
идеальном газе *. При этом соотношения (4. 21), (4. 22) полностью
сохраняют свою силу; разумеется, речь теперь идет о состояниях,
определяемых уравнением (4. 2), а не (3. 1). Выражение (4. 34) принимает
при этом вид
f(tp) = (Q(BP-T-W));. (4.34')
Приведенное выражение для Е0 мало удобно с практической точки зрения.
Используя выражения (4. 12), (4. 13), (4. 28) и (4. 28'), можно написать
Ео SP (е*)- (4.35)
где т = Т + W/2. Используя для вычисления шпура соотношение (А. 16') и
обозначая через ё энергию, приходящуюся на единицу объема ё = Eq/Q, имеем
ё - SpOT j d3p ( 0 (rf - T - W) x ) + , (4. 36)
где черта означает усреднение по объему а = Й"Ч dxa. Представим оператор
т в следующем виде:
х ¦= + т2,
*i (7'+гр)'
хг=~{Т^\^~гР).
Часть энергии, отвечающая тъ может быть с учетом выражения (4. 16)
переписана в виде (U - внешнее поле)
- 4~ + 8fQ г
где ёк - приходящаяся на единицу объема средняя кинетическая энергия:
6* = Sp" j d8pf [х, p).
Энергия <§2 имеет вид
<?2 = - 4~SPot J d3p(e(sF~ T- W) (bf - T-
* Это утверждение носило бы абсолютный характер при отсутствии второго
члена в Е0. Однако в принципе нельзя исключить и такую возможность, когда
наинизшему значению Е0 отвечает заполнение не самых низких уровней sv.
Для этого необходимо, чтобы соответствующее увеличение первого члена
рассматриваемого выражения было скомпенсировано обратным изменением
второго члена.
46
Формально дифференцируя это выражение по вр * с учетом равенств
(50 (х) дх
6 (х) и хб (х) = О,
находим
д S2 де г
Учитывая, далее, что <§2 при eF -> -со должно обращаться в нуль (частицы
при этом вообще отсутствуют), находим окончательно [43]
? - "2~- I ?k - J d-EFQ + EpQ -)- qU
(4. 37)
Для определения полной энергии необходимо, таким образом, найти
кинетическую энергию и плотность как явную функцию энергии Ферми.
Выполненное преобразование позволяет избежать вычисления сложных шпуров,
содержащих оператор А.
Если обменный потенциал А можно вообще не учитывать, то рассмотренная
процедура позволяет избавиться и от вычисления <§k. В самом деле, сравним
выражение (4. 37) с соотношением, вытекающим из (4. 36) при А = 0: .
? = ?k 6^ "I-
Исключая отсюда ?к, найдем
eF _ __________
?k= - | deFQ + е/ц> - е(^ + Щ'
- оо
гР
?
dEpQ -j- BpQ
qB.
(4. 38)
§ 5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ТОМАСА - ФЕРМИ
5. 1. Рассмотрение реальных систем в приближении Хартри - Фока в
большинстве случаев сопряжено с довольно трудоемкими численными
расчетами. К тому же соответствующие уравнения в значительной мере лишены
свойства универсальности; так, например, постановка однотипной задачи для
двух разных атомов требует проведения двух самостоятельных расчетов.
* Дифференцирование совершается лишь по тому аргументу ер, от которого
подынтегральное выражение зависит явным образом (кроме того, имеется и
неявная зависимость W от ер). То же относится к интегрированию по ер в
последующих формулах.
47
Положение значительно упрощается, если движение частиц под действием
самосогласованного потенциала W может считаться по крайней мере в
преобладающей части пространства квази-классическим. Квазиклассическое
приближение к уравнениям Хартри - Фока носит название приближения Томаса
- Ферми (в широком смысле этого термина) [48, 49].
