Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее рассмотрение приведет нас к приближению Хартри - Фока.
Гамильтониан Я0 этого приближения следует искать из условия максимальной
близости операторов Я0 и Я, которое требует минимума нормы разности этих
операторов / = (Чг0| (Н - Я0)2|1Го)- Здесь ?0 - волновая функция
интересующего нас состояния системы в одночастичном приближении.
Формально варьируя / по Я0, получим
б/=(Ф0|{Я0-Я, вя0}| ?") = (>,
где 6Я0 = j dqty+ (q) SW-ф (q) + б С. Приравнивая нулю коэффициент при
J>C, получаем
(?0|(Я0-Я)|?0) = 0,
откуда с помощью соотношений (4. 12) и (4. 13) находим
с =-Sp (We) +-^Sp[K(l-"?>") е?1е"-]. (4.27)
Приравнивая нулю часть 61, содержащую 6W, и используя выражение (4. 27) и
результаты приложения А (см. раздел А. 5), можно написать
SP { lK - SP?,(^ (<7i> <7г)(1 - & 12) Q?,)lX X(Q9l - Q9,)2eP138W^,} =0.
.
Отсюда получается искомое выражение для оператора ИЛ
Wq = sp?. [К(?, </') (1 - <^V) erl- (4. 28)
Подставляя это выражение в соотношение (4. 27), находим
С = - -L Sp [ V (q, q') (1 - &qq-) с,с,-]. (4. 28')
42
Этим и исчерпывается решение задачи о нахождении гамильтониана Н 0.
В дальнейшем нам понадобится выражение для оператора Н0 через матрицу
плотности. Подставляя последние два соотношения в выражение (4. 1) и
используя результаты приложения А (см. разделы А. 2, А. 3), найдем *
#о = j dqty+ (q) Гф (q)
+ j dqdq'y+(q)V(q, q')(l - &qq')R(q', (f)$(q) -
q"^q'
i- J dqdq'V(q, q') (1 ~ & q4.) R (q, q") R (q , if").
q"+q
q"'-*q'
Если потенциал V представляет собой просто функцию координат, то
приведенное выражение упрощается и принимает вид
я" = \dq^+{q) Гф (<?) +
-г J dqdq'V (q, q') { R (q', q') ф+(<?) ^(q) - R (q, q') ф+(</) Ф (q') ~
-ft lR (q, q) R (q', q') - R (q, q')-R(q', ?)]} • (4-29;
4. 7. Переходим к преобразованию выражения для оператора IV. Обычно
его записывают в виде разности IV = В - А, где В = Sp9' [V (q, q') q,-] -
оператор прямого, а А - = Sp9- [V (q, q') ffiqq'Qq'] - обменного
самосогласованного взаимодействия.
Используя формулу (А. 20) приложения А, можно написать**
В = Sp",t. J dx'dPp'V р-х', - ~(fp' + V^,)]/(x, р' + р). (4.30)
Таким образом, в общем случае оператор В является функцией оператора
импульса.
Если V не зависит от оператора импульса, то [44]
В -= Spa,T, jdie' d3p' V(q, q')f{x', p') . (4.30')
Наконец, если V является просто функцией координат, то с учетом выражения
(4. 16) получается известная формула
В (х) = [ dx'V (х - х') q | х') . (4. 30")
Оператор В в этом случае представляет собой просто функцию координат.
* В приводимой формуле надо сначала подействовать операторами на ма трицу
плотности, а затем перейти к пределу q" -> q' и т. д.
. ** Здесь V=V р-?, ^_(V,-V,.)] .
43
Что касается оператора А, то соотношение (А. 20) дает А ----- Sp0,T,
jdx'd3p'ex p [ip' [x- x')| XX,V [x - x',
4- (*>' + vJ] f (*• p'+p) • (4-31 >
Здесь Vx действует на функцию распределения. Если V не содержит оператора
импульса, то, вводя фурье-образ потенциала по разности пространственных
координат,
V(q, q') = j dspv [p) exp [ip [x - x'j] , (4. 32)
где v - матрица по дискретным переменным, получим
А = (2n)3Spa,t, jdYv {}') f (x, p' +p) #ao,ofxx,. (4. 33)
Наконец, если V представляет собой просто функцию координат, то
А - (2л)3 j d*p'v (р') f (х, р' + р) (4. 33')
и обязательно зависит от оператора импульса.
По поводу полученных в этом разделе соотношений нужно сделать два
замечания. Во-первых, оператор импульса, входящий в функцию
распределения, нужно понимать в том смысле, что
при действии на плоскую волну ехр(грх)
/-* -* -> \ /-> -> ->\ f (х, p' + p)-+f (х, р' + р) .
Далее, при получении соотношений (4. 30") и (4. 33') была фак-
I -> -> \
тически использована диагональность f \х, рJ относительно дискретных
переменных. Это, как оказывается, свойственно системам с заполненными
оболочками.
Обратимся к уравнению (4. 2), описывающему индивидуальные состояния
частиц. Подставляя туда соотношение (4. 28) и вычисляя шпур по системе
функций xv> найдем с учетом выражения (А. 19)
(Т + W) Xv (?) = \Т + 2 % I dq'%;(q') Vy^ (q') ] %v (q) -
L в
" 2 % J d?X (?') V%V (?') ЗСц (?) = ev%v (?)•
В
Эти уравнения представляют собой не что иное, как известные уравнения
Хартри - Фока [45] *.
* Как видно из этих уравнений, член "самодействия" частицы, отвечающий р,
= V, автоматически из них выпадает.
44
Оператор W, имеющий смысл оператора эффективного взаимодействия между
частицами, напоминает по своему виду потенциал внешнего поля, но зависит
от рассматриваемого состояния системы *. Об этом взаимодействии говорят
как о самосогласованном, имея в виду, что оператор W зависит от тех
волновых функций, которые он сам же определяет. По своему физическому
смыслу W отвечает усредненному потенциалу, действующему на данную частицу
со стороны остальных частиц системы.
4. 8. Для нахождения выражения для функции распределения удобно
использовать операторное соотношение (4. 18) [43, 46, 47 ]. Учитывая
выражения (4. 11) и (4. 28), имеем
